w(x. x)
=
| j | j
: AS(X) -
S{x)
-
s(x)
(6) ifodani Eynshteyn formulasi deyiladi.
Quyidagi bir o'zgaruvchan
= .v bo'lgan holni qarab chiqaylik.
Parametr x ning o'rtacha qiymati д- dan chetlanishi kichik boMsin. By
holda
S(x)
ni qatorga quyidagicha yoyayiik:
140
7
2
д х 2
х
= л- bolganda entropiya
S(x)
maksimum qiymatga ega boiadi. Shuning uchun
dS
I
о,
d2S
dx2
-
< 0
(8) ga asosan
bunda
S{x)
-
s(*)
= AS(.v)
= - ^ ( x ~ x j
(8)
(9)
P
d 2S
dX:
>
0
(9) ni nazarda tutib, (6) formulani quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
W{x) = A
exp
(10) dagi A quyidagi normallash sharti
|1У(л>/л- = 1
( 10)
(H)
dan topiladi. (10) ni (11) ga qo‘yib,
A
=
( IS '
,2
n y
ekanini topamiz (6. 1-
masalaga qarang). Shunday qilib,
x
kattalikning fluktuatsiyasi qiymatlari
uchun quyidagi taqsimot funksiyasini olamiz:
№ (*) =
'JL
2л
v
Г
- y l
exp - -
)
V2 /
(
12)
Bu taqsimot Gauss taqsimoti (yoki normal taqsimot) deyiladi.
Bu taqsimot
simmetrikdir va
x
=
x
da maksimumga ega (6.1 rasm).
Kvadratik fluktuatsiya o ‘rtachasi
ni (12) asosida aniqlaymiz
(6. 1, 6.2-masalalarga qarang):
-Y
6. l-rasm.
(л -
x j
= |(д- -
x) W(x)dx
Demak,
W(x) = 2n(x - x j
ex p
Iя' ^
xf
.
2( x ~ xJ
(13)
(14)
Yuqorida bir parametrning fluktuatsiyasini qaradik. Xuddi shuningdek,
ko‘p parametrlar fluktuatsiyalarini ko‘rishimiz mumkin. Bu holda sistema
entropiyasi shu parametrlar .r,, л \
xri
ning funksiyasi bo‘ladi:
S(.\) = ^(-x,,
)
Bu holda parametrlarning o‘rtacha qiymatlaridan chetlanishi ehtimoli
W(X)
ni quyidagicha yozamiz:
W (X
]dx\dx,.. ,dxn
=
A
exp[Д5(х)]с/х|
dx2..xixn
(15)
bunda
A' • A (.v,.v....... v )
S(X)
ni (д- - .v j darajalar bo'yicha qatorga yoyamiz,
- .x.) ni kichik
deb, ikkinchi tartibli hadlarni hisobga olish bilan chegaralanamiz, ya’ni
C:
+
2 ,
, dx dx
‘ •J
,
J
yoki (8) ga asosan
142
s(x) =
(16)
(16) ni (15) ga qo‘yib, aniqlashimiz lozim bo'lgan fluktuatsiya ehtimollari
taqsimotini topamiz.
(17)
Bunda A normallash sharti
W (x ) =
A
exp
;h shart
'^...^W(x)dxldx1...dxii =
1
(18)
dan topiladi:
A
= (2я ) ^ л/р
/З-matritsa /^.ning determinanti (6.1, 6.2 - masalalarga qarang).
Masalalar.
6.1. (10) ifodadagi A ni aniqlang.
Yechish. Qulaylik uchun
% =
0 deb, (10) ni (11) ga qo‘yamiz
A
Jexp
yoki
2
dx
= 1
A
v P y
bundagi 1 Pausson integralini topamiz:
+x
I - je-'dy
— x
Buning uchun
P
ni yozib, so‘ng qutb koordinata sistemasiga o‘tib,
integrallash amalini bajaramiz, ya’ni
.’ +X-
2
rt
+ x
I 2 =
|
j V
'
dxdy
= Ji/cp jYe r
dr = 2n
•
'> -
0
0
=
П
Demak,
I = yjn .
Shunday qilib,
A
f J L T
\2tc
,
143
6.2. (17) ifodadagi
A
ni aniqlang.
Yechish. (18) integral ifodani hisoblash uchun
x.
ustida shunday chiziqli
almashtirish
, = I
a., x
IK
( 1)
ni bajaraylikki, kvadratik forma
ijfiijxjxj
natijada ^ rf ga aylansin.
ya’ni
( 1) ni (2) ga qo'yib, quyidagini hosil qilamiz:
Z P r . A A n = 5 -»,.
(
2
)
(3)
Bunda chap tomondagi matritsa determinantlari (3 = p. |,
a = \a
.m|, o‘ng
tomondagi matritsa determinanti esa |5mJ = 1. Shuning uchun
P a2 = 1
(4)
tenglikka ega bo‘lamiz.
(18) integralni chiziqli almashtirgandan keyin, yakobian doimiy va a ga
teng ekanligini nazarda tutib, quyidagini yozamiz:
j... ja\v(x
\ixldx2...dxn =Aa
j... jexp
- I . * ;
2 i
'
dx, dx
n..
.dx
=
=
Aa
\
e
-
dx
=
Аа(2пУ
= 1
yoki (4) ni e'tiborga olib, aniqlanishi lozim bo‘lgan A ni quyidagicha
ekanligini topamiz:
A =
(2
n)~ -$
6.3.
Sistema qismining holatini ifodalaydigan parametr x bo‘lsin.
Entropiya ifodasi (3) asosida X ning fluktuatsiyalari taqsimotining
W(X,XU) = Ce**™' *"
ko'rinishga ega ekanligini ko'rsating. Bunda
AAmin
— sistema qismining
muvozanatli holat
dan
X=Xt+AX
holatga o‘tishda bajarilishi zapyp
bo‘lgan minimal ish.
( X .X 0)
144
Yeehish. To'la sistema holati o'zgarganda bajariladigan ish termodinamika
qonunlariga asosan
dA > dU - QdS
yoki kvazielastik (qaytuvchan) jarayonlar uchun
dAmm
=
dU - QdS
(2)
boMadi. Bunda
U
va
S
sistemaning ichki energiyasi va entropiyasi. To‘la
sistema yakkalangan, ya’ni
dU=
0 bo‘lsin. Sistema qismi yetarli darajada
kichik bo‘lsa, sistema parametri ning o‘zgarishini hisobga olmaslik mumkin.
Bu holda snstemaning
X{)
holatdan
X=X{+AX
holatga o ‘tishi uchun (2)
asosida quyidagini yozamiz:
M ,,. = - e № ) - s ( x J ]
(3)
(3) ni (6.6) ga qo‘yib, isbot qilinishi lozim bo‘lgan (1) ga ega bo‘lamiz.
Termodinamik parametrlarning o ‘rtacha qiymatlaridan chetlanishi,
ya’ni fluktuatsiyasi tegishli (mos) ish bajarilishi biian sodir bo'ladi.
3-§. Termodinamik parametrlar fluktuatsiyasi
Termodinamik parametr
X
ning
AX
ga o‘zgarishi tufayli sistemaning
ichki energiyasi
Ut
entropiyasi
S
va hajmi
V
ning o ‘zgarishIari A
U, AS
va
AV
bo'lsin. 0 ‘zgarmas temperatura va bosimdagi sistemada fluktuatsiya
sababli tashqi kuchlar bajargan ish termodinamika asosida quyidagicha
aniqlanadi:
dA > dU + pdV - TdS
(bunda
QdS = kTdS
=
TdS0
: qulaylik uchun indeks nol yozilmaydi).
Bundan minimal ish uchun
dAnva
=
dU + pdV
-
TdS
(19)
ifodaga ega bo‘lamiz. By ifodada
T
va
P
muvozanatdagi qiymatlar.
Um A il
va
AS
darajalari bo‘yicha qatorga yoyamiz:
. . .
dU
dU
1
A
U
— -—
AS
н---
dV
H—
dS
a y
2
^ ( A S f + ^ ( & v ) !
+
dS2
V
’
dV2
+ 2 - ^- A S A V
esev
+
...
(
20
)
M a ’lumki, bu ifodada hosilalar uchun ularning muvozanatdagi
qiymatlari olinadi.
10 - № 276
145
dU _ p _ dU_
dS '
~ dV
T =
—
-P
= —
(21)
larni nazarda tutib,
T
va
P
parametrlarning o'zgarishini yozamiz:
AT = A
гдЦ_л
yds
J
f
агг \
AP = A
v
dU
dV
d2U
AC
d'U ...
—
---
AS
н------A
V
dS2
DV8S
d2U
л1, ,
d2U
AC
- A V + ----
AS
у
dV2
dSdV
(22) ni
AS
ga, (23) ni esa A Kga quyidagicha ko‘paytiramiz:
AS AT = ^ L {
a s
)2 + ^ S L
a v a s
dS
dVdS
APAV =
—
(A
V)2 +
ASAV
V
’
dSdV
(
2 2
)
(23)
(24)
(25)
(21), (24) va (25) larni nazarda tutib, (20) tenglikni quyidagi
ko'rinishda yozamiz:
A
U = TAS
-
pAV + ~{ATAS - APAV
)
(26)
X
ning chekli o‘zgarishi Л'+дЛ' uchun (19) ni
A
A .
=
AU-TAS+PAV
mm
ko‘rinishda yozib, bu ifodaga (26) dan A
U
ni olib kelib qo‘ysak, quyidagi
munosabat hosil bo‘iadi:
M
= - (A 7 A 5 - APAV)
mm
2
(27)
AA
ning bu ifodasini
.‘run
^
W{X, AX)
= С expl
АД
kT
ga quyib, termodinamik parametrlar fluktuatsiyalari uchun quyidagini
olamiz:
W(X,AX)=Ccxp
1
2kJ
-{APAV- ATAS)
(28)
Bu yerda
Q = kT
deb qabul qilindi,
i 46
Masalalar.
6 .4 .
Download Do'stlaringiz bilan baham: |