P habibullaev

h 
2kT
131

---

Jdvv,  - 
^p{q)dq
  =  1
shartdan  foydalanib,  doimiy  son 
С
 ni  topamii
( 2 2 )
С   =
L  
ti
 
,  В/ко 
\2n
 —
cth
'---
I
 
2(0
 
2
1
  со  , 
Tm
—  
th
---
nh 
2 kT
Shunday  qilib,  oxirgi  natijani  (F.Bloch,  1932)  olamiz:
dw
  =  p 
{q)d{q)
 =
(0  , 
tm 
th
nh 
2 kT
exp
,  со  , 
tm 
- q-
  — 
th
h 
2 kT
dq
 
(23)
Kvant mexanikada koordinata qiymatiari ehtimollari taqsimoti
voki
p
ko‘rinishda  bo ‘lib,  bunda 
/3
  klassik  fizikadagi 
dan  farqlidir:
/vi
th
Лео
Лео 
2
kT
  ^  chegaraviy  holda,  temperatura  yuqori  bo'lganda  —
ga o'tadi.
Izoh  1.  Blox  natijasi  (23)  ni  mazkur kitobdagi  metod  bilan  osongina 
olish  mumkin,  Haqiqatan,  (11)  ni  nazarda  tutib  yozamiz:
/( £ )= - * ■  
= А
я
)Л
р
)
bunda
j/iV  
f{q)=Ae
  -
M'L
f(p)=B e
  :
r 
a  
v  
1
Ossillyator  uchun  v  -  i,p   -  —  -
(24)
(25)
(26)
U
 
<  e  >
1 
tm  ,  tm
— = < £ > =  —  
cth
---
(3 
2 
2
kT
(27)
(27)  ni  (25)  ga  qo‘yib,  taqsimot  fuknsiyasi 
f(q)
  ni  Blox  taqsimoti
(23)  bilan  bir  hil  ekanligini  ko‘ramiz.
1 3 2

---

Izoh  2.  (27)  ni  (26)  ga  qo‘yib,  umumlashgan  impuls  qiymatiari 
ehtimollari  taqsimotini  olamiz:
P~
  tno
f ( p )  = p (p )- B e 'm  2kr
 
(28)
(25)  va  (26)  (yoki  (28)  taqsimot  funksivalaridagi 
A
  va 
V
 ni  normalash 
shartlari
1
asosida topiladi:
A '1
В
+ x
2л
;B
JL
2тс
M asala 5.1.  Garmonik ossillyatorning zichlik matritsasi  ^tasawurda 
aniqlansin.
Yechish.  Muvozanat  holatdagi  ossillyatoilar ansambli  uchun  zichlik 
matritsasi,  ta’rif buyicha,
p(q,q)= 
n(q}v Ач)
 
(1)
//=0
ifoda bilan aniqlanadi.  0 ‘zgaruvchilarni quyidagicha almashtiraylik:
, 
q — r + s,  q  =  r — s
 
(2)
l
 Ф '
Hosila  I  _ 
ni topaylik:
\os jr
q - q
  = 
2s
 
(3)

---

dq 
oq
■
 
_  
'  _  
• 
^ 
bunda -  
1^~
q
^   =  PV»'  P  ~  ~l
 
impuls operatori. Ossillyator uchun
matritsa  elementlari  noldan  farqli  bo‘ladi: 
n
  —» 
n
 +  1  o ‘tishiar  uchun 
(tanlash qoidasi).  Bulami e'tiborga olib yozamiz
dw  (q) 
i
 
i r  
l
dq 
n 
Ti
=  | [-  
+  г'ГО^ .„ Ч ',н .Ы ]  =
* 
(
7
)
^   7 k  
n
Xuddi  shuningdek,  icngiikni  yozamiz:
= 7 b  - '"Ч'„ 
M )
 - <7
)!
dq 
Ti
(5)  ni  (7)  ni  nazarda  tutib  qayta yozamiz:
(
8
)
= — 1 > ' Pt M'Xtf I?,, 
„
у
Х
ч
У Ч „+1Л!
„.,(?)]=
dq 
ft  n
dp 
aa> ■
in 
-1 —> 
n  almashtiramiz
 )
= — |1 > '',‘'"Р* > я+1 
(я
 >„(p.
  I 
n-0 
,
1^0
 
J
(9)
h
Shuningdek,  yozamiz:
~  = —
(q )- q „ ^ ,A i3 =  
dq 
ti
■
 ~  j z  e f,; v „ (•/)•' 
(g
  )/ 
- ! > '   v . (/ .• (^  U=’> 
''=11
/г — !  > ^  
almashtiramiz =
 
0
= 
)?...
134

---

(9)  va  (10)  ni  nazarda  tutib,  (4)  ni  yozamiz:
(dp
dp 
dp
.  =2 
ds J,.
 
[dq  cq
2 am 
П
(П)
2 да
Endi 
sp
 ni aniqlaylik. 
q—r+s, q —r-s
 dan 
q+q —2r; q-q =2$; s 
qp 
qp 
Demak  —   va  — —   larni aniqlash kerak. 
qp
 = 
a'^e~^\\iXg}]Wl,(q)=
= 
,(u ) v „
  ,W>/....+ Z
_
 
( q - q )
= 
a
qp = a
  Z e4!E”4'"“xn„(t/'V ,,.i(t?k,„.i 
( 12)  va  (!3)  dan  foydalanib  olamiz:
Е е'РЕчиЛ^>и„+| (^ 'к
sp
+ {e"m
 
V„(^k+„|
(-- ! + e ^ ’l V  
[-  4J„T,(<7V„(<7 )+ V -.ife'V .W k
Dem ak,(11)  va  (14)  dan  aniqlaymiz:
f ^ P )   - 
2аю  2(l + e °"“)  
_  
4 m _ „ , L PffO
l*J, 
fj  a(l-C- )
yoki  bundan
■
 
pscth - 
h
 
2
(
12
)
(13)
(14)
135

---

р(г, л) = 
A(r)e 
Awalgi  o'zgaiuvchiiar 
q,q
  ga  o'tavlik:
В to
,p =
kT
(15)
Demak.
<16>
q
 + 
q  -■
  r.i/  -  Г (0
Лео  V
,ттЛ 
2*7\ 
yoki  <7, <7  da ^=4^- ni e'tiborga oiib yozamiz
h 
2kT
\(q,q) =
( со 
Лео
th
(
  !
exp
U
h 
2kT)
 
‘ [ |  
4Л 
(17)  ni  ( i 6)  ga  qo'yib,  oxirgi  natijani  olamiz:
j 
(q + q )
coth
Лео
2kT
/ 
\
 
(
 
со 
.  Лео 
Y- 
) 
eo(ty  + 
q
 
V 
Лео
p i<7, 
q  )=
  I ..— 
th
---  
exp-^--  
/Л---
7 
U A  
2kTj
 
| 
4 
h 
2kT
(17)
toftv 
- 
q
 
V 
,  Лео 
v 
a h
 —
(18)
4Л 
2
kT
j
Izoh  1.  Matritsa  p
(q,q
 ) 
ning  diagonal  elementlari 
p{q,q
)  (18)  dan 
q
 
= 
q
 
boMganda olinadi.  Bu diagonal  elementlar esa awalgi masalaning 
natijasidir.
Izoh 2. Bu diagonal elementlarning klassik holdagi ifodasi 
kT  »
  Лю 
shart  bajarilganda  (18)  dan  olinadi:
l
 ti 
fio 
w'i]~
p(^) = 
Ae  4  h 2kT
  = 
Ae  ZkT
(19)
2
 
2
 
7
 
7
 
2
Normal koordinata 
q
 dan tabiiv koordinataga o'taylik: 
^ q
  =  —  
mx~  — kx
~.
m
Bu holda
136

---

ь-
р(л') = 
Ае  2кТ
 
(^0)
fcjc~
Potensial  energiya  ——  bo‘lgandagi  m a’ium  Gibbs  (yoki  Bolsman)
taqsimoti  ifodasi kelib  chiqadi.
Izoh  3. 
/ко  »  
kT
  bo‘lganda  zichlik  matritsasi  diagonal  elementini 
aniqlaylik:
p
{q)=  Ae
  »  '  = 
(21)
- ossillyatorning asosiy  holati to'lqin funksiyasi 
(q —
  tasawuriar).
Masala 5.2. 
Ossillyator uchun zichlik matritsani 
p
 tasawurda aniqlang. 
Javob:
1 
(
/
7(0
th-
\mnti
 
2
kT 
J 
[ 
4Г7М 
2
kT
{P- Р )
 
7  Й1»
4/ш 
2kT\
K o‘rsatma. Awalgi  masaiani yechgandagi usul  qo'llanadi.
Izoh  1. 
Zichlik matritsa 
ni diagonal elementlari ifodasi 
p =p
da olinadi:
^ 
p 2  .  ti
co
азПП 2к г )
 
(23)
Asosiy  matndagi  umumiy  ifodadan bu  (23)  ifodani  quydagicha  olinadi:
/  \
 
n
 
1 
2  ,  Йсо
p ( / 7 ) = Л е - ; ( 3   = ----
=  - t h - —
 
(24)
<  e  > 
mo 
2
k
T
P
  ning bu qiymatini nazarda tutib,  (24)  ifoda (23)  taqsimot  bilan  bir
xil ekanligiga qanoat hosil qilinadi. 
A
 normallash shartidan aniqlanadi.
Izoh 2. 
klassik holda 
( kT
  »  
Tm
  shart bajarilganda)  (24) yoki (23) dan
p(p) =  A e ™  
<25)
Maksvell  taqsimoti  funksiyasi  chiqadi.
137

---

Izoh 
3. 
»  
kT
  holda (24)  dan
—
p(p) =  Ae  й
и  -  |i|
i u
(
p
X
(26)
__ r__
taqsimotni olamiz.  Bunda  ууДр) = 
A 2e
  2,r’  ossillyatorning  asosiy holati
toMqin  funksiyasidir. 
/  ,
Izoh 4. 
p(p)
 yoki 
p(q)
  ni  p(jvj/(a)j" 
deb tasawur etilsa,  umumiy 
holda  V(/(«)  funksiya qanday tenglamaning yechimi bo'ladi?
U 'o W   va  M/o(p)-Shredinger tenglamasinmg yechimi]
Izoh 5. 
Garmonik ossillyatorning zichlik rnatritsasi
2   exp  -  P 
II 
~  p"\2m + nm 'q  (1
g-tasawurdagi matritsa elementlari
)= 
z <4 ^ H\
q
  >= ~
£ У
Хч
i 
Z   /,
(9)
_ 
t  I 
V
ifoda  bilan  aniqlanadt.  Bunda  8 „  - 'го)| 
n
 + 
n
 
hususiy qiymatiarga  mos 
kelgan  toMqin  funksiyalar
ты T 
•
Tlh
V 2"??!
//  (c)  Ermit  polinorni
; 
пю)
С  =  л|——<7
d
4'„(^)  ning  ifodasidan  foydalanib,  zichlik  rnatritsasi elementlari  pl(})
uchun (18) ifodani olish mumkin. Ammo buusul yetarli darajada murakkab 
bo'lgani  uchun  bu  yerda  uni  qaytarmasdan,  bu  usul  ham  yana  awalgi 
natijaga  olib  kelishini  qayd  etish  bilan chegaraianamiz.

---

VI b о b. FLUKTUATSIYA NAZARIYASI
l-§.  Kirish
Statistik  flzikaning  asosiy  vazifasi  —  termodinamik  qonunlar  va 
munosa'batlarni  asosiash,  ularni  isbot  qilish  xamda  term odinam ik 
funksiyalami  molekular  -  kinetik  nazariya  asosida  xisoblashdan  iborat. 
Bunda fizik kattaliklarning o‘rtacha qiymati hisoblaniladi.  Kattalikiarning 
haqiqiy qiymatiarining o ‘rtacha qiymatdan chetlanishini (og'ishini)  ham 
muvozanatli statistik fizika tadqiq qiladi, o'rganadi.
Fizik  kattaliklar  haqiqiy  qiymatiarining  ularning  o ‘rtacha  qiymatidan 
tasodifiy chetlanishigafluktuatsiya hodisasi deyiladi.
 Moddalaming mikroskopik 
xossalariga fluktuatsiya ta’sir qiladi.  Demak, bu xossalarni chuqur tushunish 
uchun fluktuatsiyaning ta’sirini hisobga olish zarur. Shu sababli, fluktuatsiya 
hodisasini  o‘rganish  —  tadqiq  qilish  katta  ahamiyatga  ega,  Fluktuatsiya 
nazariyasining  ahamiyati  shundan  ham  iboratki,  u  muvozanatli  holat 
nazariyasi  bilan  nomuvozanatli  holat  nazariyasi  o‘rtasida  ko'prikni  tashkil 
etadi, 
Sistema muvozanatli holatdan  chetlanishi statsionar  bo'lishi mimkin. 
Bu nomuvozanatli jaravon/arni o'rganish usuli kinetika deyiladi.
  Fluktuatsiya 
nazariyasi kinetik nazariya usullarini o'rganishga qo'yiigan qadamdir.
Ixtiyoriy  miqdor  x  fluktuatsiyasining  miqdoriy  o ‘lchami  sifatid;*
( v _  
XJ
  kattalik qabul qiiinadi. Aksariyat masalalarni yechishda 
n=2
 boigan
holda  foydalanish  yetarli  bo'ladi. 
Bu  holda 
ni  x  kattaligining
о ‘rtacha kvadratik fluktuatsiyasi yoki dispersiyasi deyiladi.
2-§.  Fluktuatsiyaning  termodinamik  nazariyasi
Faraz  qilaylik,sistema 
X(xrx2,...)
  parametrga  nisbatan  aniqlangan 
bo‘lib, buning o'rtacha qiymati quyidagicha bo‘lsin:
, 
X2
Biz X ning  haqiqiy qiymatiarining o‘rtacha qiymat 
%
  dan chetlanishi 
qonuniyatini, ya’ni 
X
ning qiymatlari ehtimollari taqsimotini aniqlashimiz 
lozim.
139

---

Fluktuatsiyani aniqiash uchun (o'lchamsiz) entropiyaning umumiy ta’rifi 
S  =  - <   I n / ( £ ) >  
(i)
ifodadan foydalaniladi; bunda kanonik taqsimotni quydagicha aniqlaymiz:
/ ( £ ) =   Z V p£,p  = 
~
 
(2)
bunda 
Z ~
 statistik integral (yig'indi), 
U—
 ichki energiya, 
2v
 — sisternaning 
gam iltonianini  aniqlovchi  parametriar  soni;  yuqori  temperaturada, 
energiyaning erkinlik darajalari bo'yicha teng taqsimlanishi qonuni o‘rinli 
bo‘lganda  (2)  taqsimot  Gibbsning  kanonik  taqsimotiga  o‘tadi.  Bundan 
kanonik ansambl  entropiyasini  topamiz:
5  =  v +  In Z  
(3)
Sistema  yoki  uning  biror  qismini  xarakterlaydigan  fizik  kattalik
л,,...)  ning  o'zgarishi  bilan  sisternaning  holati  o'zgaradi.  Faraz
qilaylik,  entropiya  tenglamasi  (3)  faqat  muvozanal  holatidagi  sistema 
uchun o‘rin!i bo‘lrnasdan, Л'ning barcha qiymatlarida ham o‘rinii boMsin:
S ( X )   =   v ( x ) +   i n Z ( x )  
(4)
Fluktuatsiya hodisasida erkinlik darajalari soni doimiy deb,  (3) va (4) 
ifodalardan quyidagiga ega bo‘lamiz:
| | j   =  e x ,{ s ( X b  S(X)] 
(5)
z(x)
Bunda  5 (X )- - s (x )=   Д5(Х) <  0  va  demak  nisbat 
(0,1)
intervalda  o‘zgaradi  va  sisternaning  muvozanatli  holatdan  chetlanishi 
ehtimoli  и ф г , * )   ni  aniqlaydi,  ya’ni
w(x, x )=   A
  expf Д 5 ( Х )] 
(6)
bunda 
A —
  normallash  shartidan  aniqlanadi.