P habibullaev

L
 =  4,30-10
-,7{Me/M )2 erg/sek
 
(60)
qiymat  olamiz

---

V b о b.  ZICHLIK MATRITSASI  (OPERATORI)
l-§.  Kirish
Ta’rif.  Qaralayotgan sistemaning  holatlari  v|/a, , цуц  ,...  va ulai^a  Ermit 
qo'shaloq holatlar 
, v|/V ,  bo‘lsin. Bularo'zaro ortogonal va normaldirlar:
(i|/*a,v|/a ..)=  5an. 
(1)
Agar sistemani 
a
 holatda bo'lish ehtimoli wa bo‘lsa, u holda bu sistemaning 
statistik xossalari quyidagi  zichlik matritsasi  (operatori) bilan aniqlanadi:
P
Bunda 
w
  uchun normalash sharti
X
 
■
  (  = Z   ! a  > VV’a <  a |) 
(2)
arti
X
 H’«  =  1
Gilbert fazosida ixtiyoriy ortonormalli bazis vektorlar cp„ = |л 
>(n=
  1,2...) 
berilgan bo'lsin.  Bu bazisda zichlik matritsasi
< 
n\p\rt
  >= 
<  n|a  >  u’a  <  a|«  > 
^
ko'rinishga  ega  bo'ladi.  Bunda  diagonal  eiementlarining  yig'indisi  yoki 
matritsa  (operator)  shpuri  birga normalangan bo'ladi:
< 
n\p\n
  >= 
Sp =
  1 
(5)
2-§.  Dinamik kattalikning  o‘rtachasi
Berilgan operator (matritsa)  ning statistik ansambli asosida di—namik 
kattalikning o'rtacha qiymati quyidagicha aniqlanadi:
A
  =  X
  н'«(а 1Л1а )  = 
SrpA
(6)
S pA
  —  ikki  matritsa 
p
  va 
A
  ning  ko'paytmasidan  iborat  bo'lgan 
matritsaning diagonal eiementlarining yig'indisidir.  Eslatamiz: Matritsaning 
diagonal elemantlari yig'indisi (ya’rii matritsa shpuri) invariant  kattalikdir; 
u  koordinatalar sistemalariga  bog'liq  emas.
128

---

Kanonik  taqsimotni  ifodalovchi  zichlik  matritsasining  ko'rinishi 
quyidagichadir:
p  =  Z ~ V P"  S  Z   ^
^
р£ф £'ф Е '  =  Z   ,^
e-pF|£i  x  
E ‘\
E  
E'
P  =  - L  
(7)
kT
Ф £,  = 
|E  >  —
  gamiltonian 
^
  ning  xususiy vektori  (funksiyasi),  ya’ni 
Н<РР = £ ' ф г 
( % '   >= 
E'\E
  > J  
(8)
z   = 
=  £
 ,-«• 
(9)
E ‘
Kanonik  taqsimot  asosida  dinamik  kattalik 
A
  ning  o‘rtacha  qiymati 
quyidagicha ko‘rinishda aniqlanadi.
-  
5 
Ae-*H 
A
  = 
--- —
5 
e
-PH
(
10
)
3-§.  Ossillyator koordinatasi  va  impulsining 
ehtimollari  taqsimotlari
Qattiq jism atomlari yoki molekula atomlari kichik tebranayotgan bo'lsin. 
Bu holda ossillyatorning energiyasi
(ID
a
ifoda  bilan  aniqlanadi; 
Pa
  va 
qa
  umumlashgan  impuls  va  umumlashgan
[к
(normayal) koordinatalar;  coa  =  J —   normal tebranish chastotasi. Kvant
V 
m
mexanikada ham ossillyatorning energiyasi
f
 
1 л 
v 
2 y
(12)
alohida ossillyatorlar energiyalari yig‘indisidan iborat bo'ladi.  Ossillyator 
koordinatasi qiymatlari ehtimollari taqsimotiga qaraylik. Klassik statistikada 
bu taqsimot
9  -   №   276 
129

---

dan  iborat.
Kvant  mexanikada  shu  masalani  ha!  etaylik.  Har bir  ossillyatorning 
energiyasi
e „ = f i ( o n   +  ^ j  
(14)
ifoda balan aniqlanadi.
q,q  + dq
 intervalda ossillyator koordinatasi qiymati bo'lishi ehtimoli, 
umumiy ta’rifga asosan,
dw(q)
 
p
(q)dq
  = 
d q w :r\
\
j]
 
([5)
w  =  ae
  £,p  ,  (3  =  — - 
(16)
kT
(15)  va  (16)  dan  ko'rinadiki
p(fl) = 
(17)
d W ( q )   =   A e
 
' 
d q   -   A e   2 k r d q
 
*'1' ^
(17)  dan  hosila  olamiz.
dP(‘l)   _   o „ V   ..-
p
*...   dy.
dq
 
" S
' ...
■t
~ 
lH
 
-  Я V.,  ekanligini  va 
n
  -> 
n
 ±  1  o'tishlar  realizatsiyasi  bo‘li-
dq
shini e’tiborga olib,  (IS) ni yozamiz (impuls matritsasi elementlari uchun 
n
  —» 
n  ±
  1  o'tishiargina mavjud)
i
- j-  =  2а У  e рЕ"Ч'„ ~ py„ j - —J] 
+
 P„+
.„V,, J
^  
V  
^ft 
J  ft “
/?.  ln 
= -i(oqi
 _ln; 
p,^t r
 
ni e’tiborga olib davom ettiramiz:
ф ( д )  _   2ясо

---

d p(q)_
 2«co 
dq
I t
h  '
2aco
h
[е^т - l
, W „+
1)
dp(q)
2aco
dq 
fi
Endi 
q
 p  ni  aniqlaylik
q9 = q a £ f ^ \  = а £ е ^ п д^„Ц1„) = а ^ е ^ ' '[у Л.-ь.У
(19)
= 
\
n 
-1 
—»n  almashtiramiz
 | = 
a
= cr(l + e fk" ) J ] ^ l4/„H/„(lt^pE"
h =0
(19)  va  (20)  dan  olamiz:
(
20
)
Pfao 
p Ato
ф (< ?) 
-   2co 
1  -  
e
~p*” 
2ra 
e  2  -  e  2 
2co 
,  p /to
" r f T  = 
T^
7 
= ~ ^ r qp~ ^
—
i ^  = — r ^ th—
  (21)
e 
+ e
ti
(21)  dan
yoki
dp
 
2со  ,  В/ко
—   = ----
th
 -—  
q ■
 dq
p
h
i
In p(g) = 
-q2
 — 
th
 — —  + In С  
h
 
2
ti)  2 , pflW
-
a*th-
-
2
p(q)=  Ce
Shunday  qilib,  izlanayotgan  taqsimot 
p(q)
  ni  olamiz:
p M  = 
c
exp
,  со  ,  ЙС0
- q* — th