O’zgaruvchilar

NTlar orasidagi masofa. Matematikada d(x, y) masofa deganda, ya’ni U to’plamda elementlar juftligi uchun quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi qiymatga aytiladi:
∀ x, y, z ∈ U∶ 1) d (x, y) ⩾ 0 - manfiymaslik;

2. 
   d (x, y) = d(y,x) - simmetriklik;
   

2. 
   d (x, z) ⩽ d( x,y)∗ d(y,z) - tranzitivlik; 4) d (x, z) = 0:
   

Bu erda ∗ operator Xemming masofasi tushunchasi bilan bog’liq bo’lib haqiqiy masofani bildiradi, agar operator ∗ = + bo’lsa, u holda u odatdagi yig’indi hisoblanadi.
U to’plamdagi ikkita A va B NTostilar orasidagi Xemmimng masofasi
௡
݀⁽ܣ, ܤ⁾ = ෍^|ߤ_஺⁽ݑ_௜⁾ − ߤ_஻⁽ݑ_௜^)|
௜ୀଵ
aniqlanadi.

Misol.

	ݑଵ	ݑଶ	ݑଷ	ݑସ	ݑହ	ݑ଺	ݑ଻
A=	1	0	0	1	0	1	1
B=	0	1	0	0	0	1	1

݀⁽ܣ, ܤ⁾ = ^|1 − 0^| + ^|0 − 1^||0 − 0^| + ^|1 − 0^| + ^|0 − 0^| + ^|1 − 1^| + ^|0 − 1^| =
= 1 + 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 = 4.
n quvvatga ega bo’lgan chekli U to’plamdagi ikkita A va B NTostilar orasidagi Xemmimng masofasi

1
ߜ⁽ܣ, ܤ⁾ = ൬
൰ ݀⁽ܣ, ܤ⁾

݊
aniqlanadi.
Misol.Yuqoridagi misoldan (A,B) = d(A,B)/7 = 4/7.
NTlar uchun umumlashgan Xemmimng masofasi tushunchasini uchta (A, B, C)⊂ U to’plamostilarini qaraymiz, bu erda U- n quvvatli chekli to’plam.

	ݑଵ	ݑଶ	ݑଷ	…	ݑ௡
A=	ܽଵ	ܽଶ	ܽଷ	…	ܽ௡
B=	ܾଵ	ܾଶ	ܾଷ	…	ܾ௡
C=	ܿଵ	ܿଶ	ܿଷ	…	ܿ௡

Aytaylik, ܽ_௜ va ܾ_௜ (݅ = 1^തതത,^ത݊^ത ) uchun ܦ⁽ܽ_௜, ܾ_௜⁾(݅ = ^ത1^തത,^ത݊^ത), ܾ_௜ va ܿ_௜ (݅ = 1^തതത,^ത݊^ത ) uchun ܦ⁽ܾ_௜, ܿ_௜⁾(݅ = ^ത1^തത,^ത݊^ത) va ܽ_௜ va ܿ_௜ (݅ = 1^തതത,^ത݊^ത ) uchun ܦ⁽ܽ_௜, ܿ_௜⁾(݅ = ^ത1^തത,^ത݊^ത) aniqlangan bo’lsin. U holda ushbu masofalar uchun quyidagi tengsizlik o’rinli
∀݅ = 1,2, … , ݊; ܦ⁽ܽ_௜, ܿ_௜⁾ ≤ ܦ⁽ܽ_௜, ܾ_௜⁾ ≤ ܦ⁽ܾ_௜, ܿ_௜⁾.
Buni quyidagicha yozish mumkin:
௡ ௡ ௡
෍ ܦ⁽ܽ_௜, ܿ_௜⁾ ≤ ෍ ܦ⁽ܽ_௜, ܾ_௜⁾ + ෍ ܦ⁽ܾ_௜, ܿ_௜⁾,

௜ୀ଴
௜ୀ଴
௜ୀ଴

௡ ௡ ௡
ඩ෍ ܦ^ଶ(ܽ_௜, ܿ_௜⁾ ≤ ඩ෍ ܦ^ଶ(ܽ_௜, ܾ_௜⁾ + ඩ෍ ܦ^ଶ(ܾ_௜, ܿ_௜⁾ .

௜ୀ଴
௜ୀ଴
௜ୀ଴

Bu ikkita formulalar NTostilar orasidagi masofaning bahosini beradi: birinchisi
-chiziqli, ikkinchisi esa-kvadratikli baholar.
NTostilari orasidagi masofalarni hisoblashda qo’llaniladigan ma’lum formulalar 11.3-jadvalda keltirilgan.

11.3-jadval. Universal U to’plamda NTostilari uchun masofalarni hisoblash formulalari.

Masofalar turi	UT turi	Masofalarni hisoblash formulalari
Xemming	|U|=n	௡ ݀^(ܣ, ܤ^)= ෍ |ߤ஺^(ݑ௜^)− ߤ௚^(ݑ௜^)| ௜ୀ଴
Xemming	ܷ ⊆ ܴ^ூ	|ݑ݀^)ݑ௚^(ߤ −^)ݑ஺^(ߤ| න =^)ܤ ,ܣ^(݀ ௨
Xemmingga nisbatan	ܷ ⊆ ܴ^ூ	1 |ݑ݀^)ݑ௚^(ߤ −^)ݑ஺^(ߤ| න =^)ܤ ,ܣ^(ߜ |ܷ| ௨
Evklid	|U|=n	௡ ݈^(ܣ, ܤ^)= ඩ෍(ߤ஺^(ݑ௜^)− ߤ௚^(ݑ௜^))^ଶ ௜ୀ଴
Evklidga nisbatan	|U|=n	௡ 1 ߝ^(ܣ, ܤ^)= ඩ෍(ߤ஺^(ݑ௜^)− ߤ௚^(ݑ௜^))^ଶ √^݊ ௜ୀ଴
Xemmingga nisbatan	|U|=n	௡ 1 ߜ^(ܣ, ܤ^)= ෍ |^(ݑ௜^)− ߤ௚^(ݑ௜^)| ݊ ௜ୀ଴
Evklid	ܷ ⊆ ܴ^ூ	ݑ݀^)ଶݑ௚^(ߤ −^)ݑ஺^(ߤ ඨන =^)ܤ ,ܣ^(݈ ௨
Evklidga nisbatan	ܷ ⊆ ܴ^ூ	1 −^)ݑ஺^(ߤ ඨන =^)ܤ ,ܣ^(ߝ ^|ܷඥ^| ݑ݀^)ଶݑ௚^(ߤ ௨

Masofa tushunchasidan to’plamning noravshanlik darajasini o’lchash uchun foydalaniladi. Noravshanlik o’lchovi-bu protseduralar, qaror qabul qilish, timsollarni anglash va h.k. larda sifatni baholash parametridir. Mmasofalarni aniqlashning keltirilgan formulalarini NTga yaqin bo’lgan odatdagi to’plamostilari uchun qo’llanilishiga oddiy misollar keltiramiz. Xulosa qiladigan bo’lsak, A ravshan to’plam Xemming masofasi bo’yicha NTga juda yaqin joylashgan bo’ladi (yoki juda kichik normaga ega bo’ladi).
NTlar uchun noravshanlik darajasi aniqlangan bo’lsa, u holda quyidagi mansublik qoidasi asosida NTdan ravshan to’plamni hosil qilish mumkin:
< _௜⁾ݑ_஺⁽ߤ ݎܽ݃ܽ 0, ^{ݎܽ݃ܽ 1,} ቐ = _஺ߤ 0.5, ݎܽ݃ܽ 1, ݅݇݋ݕ 0 ^{0.5, < ௜)ݑ஺(ߤ} 0.5. = _௜⁾ݑ_஺⁽ߤ

Misol.

Noravshan to’plam	ݑଵ	ݑଶ	ݑଷ	ݑସ	ݑହ	ݑ଺	ݑ଻	ݑ଼
	0.2	0.8	0.5	0.3	1	0	0.9	0.4
Ravshan to’plam	ݑଵ	ݑଶ	ݑଷ	ݑସ	ݑହ	ݑ଺	ݑ଻	ݑ଼
	0	1	0	0	1	0	1	0

α-pog’onali to’plamosti. Aytaylik α∈[0,1]; A NTostining α-pog’onali to’plamosti deb- A_஑ = ^{x^|μ_୅⁽u⁾ ≥ α^} NTostiga aytiladi.
Misol. Aytaylik, A NTosti berilgam bo’lsin.

	ݑଵ	ݑଶ	ݑଷ	ݑସ	ݑହ	ݑ଺	ݑ଻
A=	0.4	0.2	0	0.5	0.3	0.7	0.9

A NTostiga α-pog’onali to’plamostini qo’llab ܣ_଴.ଷ va ܣ_଴.଺ ravshan to’plamostilariga ega bo’lamiz:

	ݑଵ	ݑଶ	ݑଷ	ݑସ	ݑହ	ݑ଺	ݑ଻
^ܣ଴.ଷ ^=	1	0	0	1	1	1	1
^ܣ଴.଺	0	0	0	0	0	1	1

3.6. Noravshan munosabatlar

Munosabat tushunchasi matematikada va sun’iy intellekt tizimlarida: timsollarni anglashda, murakkab tizimlarni loyihalashda, xulosalashlarda, BBni shakllantirish tizimlarida, tahlilda, boshqarishda, modellashtirishda, qaror qabul qilishda va h.k. da muhim ahamiyatga ega [1, 9]. Bularni NTlar holi uchun han umumlashtirish mumkin. Buning uchun qandaydir yangi xossa(xususiyat)larni topish kerak bo’ladi. Masalan, “ekvivalent sinf” tushunchasini “o’xshaydigan sinf” tushunchasiga qat’iy ma’noda emas, balkim ko’pchilik ilovalar uchun umumiy ma’noga egaligiga qarab almashtirish mumkin. Oldingi tartib va tartib qiyoslash yo’li bilan umumlashtiriladi, o’xshashlik va o’xshashmaslik munosabatlari aniqlanadi va h.k.

Noravshan implikatsiya va kompozitsiya amallari noaniqlik sharoitlarida qarorlarni qabul qilishda noravshan munosabat qiymatlarni topish va noravshan mantiqiy xulosalarni shakllantirish uchun asosiy bo`lib hisoblanadi [5, 28].

Ta’rif. Faraz qilaylik

E  E₁ xE₂ x...E_n x  E_i , i  1, n
universal to`plamlarning

dekart ko`paytmasi bo`lsin.
M = [0,1]

• 
  qandaydir MFlar to`plami. U holda
  

noravshan juftli munosabat o`zining qiymatlarini <sup>M</sup> to`plamdan oladigan ^E
to`plamning <sup>R</sup> qism to`plami deb ataladi.

^{n  2} va
M = [0,1]
bo`lganda, masalan
X  E<sub>1</sub>
va Y  E<sub>2</sub>
to`plamlar

o`rtasidagi noravshn munosabat (NM) har bir
(x, y)  X  Y
elementlar juftiga

^{R (x, y) [0,1]} qiymatni muvofiqlatiradigan ifodalanadi.
R : (X, Y) =[0,1] funksiya bilan

X Y to’plamda beriladigan NM

10. 
    ^{ X , y Y : xRy} tavsiflanadi. Bunday
    

munosabat binar (ikkili) munosabat deb ataladi. Agar
X  Y
bo`lsa, u holda

R : X  X
 [0,1]
^X to`plamda berilgan NM deb nomlanadi.

NMlar matritsa yoki graf ko`rinishda beriladi.
X to`plamdagi R noravshan binar munosabat - bu


X  X


ko`paytmaning

_R : X  X [0,1]
MFsi bilan ifodalanadigan qism to`plamidir. Aniq

(x_i , x _j ) X  X
o`zgaruvchilar jufti uchun
_R (x_i , x _j )
qiymati

10. R x _j

munosabat

to`g`irlik darajasini belgilaydi.
^{Kichik va cheklangan X da} R ^NMning


M (R)


kvadrat matritsa ko`rinishida

berilishi qulay hisoblanadi. Bu matritsaning ustun va satrlari

10. 
     X
    

elementlar bilan

belgilanadi, ya’ni satr bilan aniqlanadi.

10. 
    , ustun ^x _j
    

bilan, elementlari esa
^ri j
  _R (x_i , x _j )
qiymat

Misol.

X  {1, 3, 5, 7, 9}
ko`rinishdagi asosiy to`plam berilgan. Bu ^X to`plamda

			1	3	5	7	9
1			0	0	0	0	0
3			0.2	0	0	0	0
5			0.5	0.1	0	0	0
7			0.8	0.4	0	0	0
9			1	0.8	0.5	0	0

R <sup>- “Ancha katta” munosabatni topish kerak. Ekspert xulosalari bo`yicha bu</sup> munosabatning matritsasi 11.8-rasmdagi ko`rinishda bo`ladi.


M (R) 

11.8-rasm.
Bu munosabat G  ( X ,U ) graf ko`rinishda beriladi. Bu yerda


X  x₁ , x₂ ,..., x_n

- uchlar to`plami,
U  { _R (x_i , x _j ) /(x_i , x _j ) } _,
_R (x_i , x _j )  0,
x_i , x _j  X _-

yo`naltirilgan ( x<sub>i</sub>
<sup>uchdan</sup> x <sub>j</sub>
uchga) noravshan yoylar to`plami. Misolda keltirilgan R

- “Ancha katta” munosabatni aks etadigan graf 11.9-rasmda keltirilgan.



x
x₄
1

9. 
   - rasm. ^R - “ancha katta” munosabatni aks etadigan graf.
   

Misol.

X = {x₁, x₂ , x₃}, Y = {y₁, y₂ , y₃ , y₄}
berilgan to`plamlar va R

munosabatning
_R (x_i , y _j )
MFlari 11.4-jadvaldagidek bo`ladi.
11.4-jadval.

	y1	y2	y3	y4
x1	0	0	0.1	0.3
x2	0	0.8	1	0.7
x3	1	0.5	0.6	1

Bu jadvalda satr nomlari - X to`plam o`zgaruvchilari bilan, ustunlari esa - Y
to`plam o`zgaruvchilari bilan belilangan. Jadvalning elementlarida MFning

^m_ij ^{= }_R ^(x_i ^{, y} _j ^{) ,} m_ij M =[0,1]
qiymatlari ko`rsatilgan.

R = XxY
munosabatning graf ko`rinishdagi ifodasi 11.10-rasmda keltirilgan.