Өзбекстан республикасының жоғары және орта білім беру министрлігі

Екінші дәрежелі салыстырулар
Екінші дәрежелі салыстырудың жалпы түрі төмендегідей болады:

Мұндағы
Біз бұдан былай әрқашан да деп аламыз. Ал егер болса, онда (1) салыстыру түріндегі бірінші дәрежелі салыстыруға айналып кетер еді. Сол сияқты болғанда да тура осы жағдай қайталанады. Себебі: Ферма теоремасы бойынша екені түсінікті.
(1)түріндегі салыстыруды әрқашан да ықшамдауға болады. Ол үшін (1) салыстырудың екі жағын да көбейтіп,


деп аламыз да, арқылы белгілей отырып,

түріне келеміз.
(2)түріндегі өрнек екінші дәрежелі салыстырудың канондық формасы деп аталады.
Мысал. салыстыруы берілсін. Оның екі жағын 12-ге көбейтіп,

аламыз. деп белгілесек,

2. 
   салыстырудың шешімі бар болса, онда модулінің квадраттық қалындысы, ал (2) салыстырудың шешімі болмаса модулінің квадраттық қалындысы емес деп атайды.
   

Теорема.Екінші дәрежелі салыстырудың бір шешімі болса, онда міндетті түрде тағы бір шешімі бар.
Шындығында шешімі болсын. Онда

салыстыруынан түрінде берілген салыстырудың екінші шешімі шығады. Және әртүрлі шешімі.
Модулі болып келген екінші дәрежелі салыстырулар
Екінші дәрежелі

салыстыруы берілсін де, оның модулінің канондық жіктелуі

болсын. (1) салыстыру модулінде жай сандардың дәрежесі болып келген төмендегідей салыстырулардың системасымен ауыстырылады:

Сонымен, түріндегі салыстыруды (p=2 немесе кез келген тақ жай сан)шешуге болатын болса, онда модулі құрама сан болып келген (1) түріндегі салыстыру шешіледі деп есептеледі.
Айталық

салыстыруын шешу керек болсын, мұндағы α – оң бүтін сан. 1. жағдай.
мұндағы салыстыруын кез келген тақ жай сан қанағаттандырады да, ондай сандар жиыны 2 модулі бойынша бір ғана класын құрады. Демек, бұл жағдайда (2) салыстыруының бір-ақ шешімі бар.
2. жағдай.
Егер
(3)
салыстыруының шешімі болса, оны түріндегі тақ сандар қанағаттандыруға тиіс:

немесе
(4)
Керісінше, (4) салыстыру орындалса, онда (3) салыстыруды 4 модулі бойынша

Екі класқа бөлінетін барлық тақ сандар жиыны қанағаттандырады. Сонымен, (3) салыстырудың шешімі және екі шешімі, тек (4) қатынас орындалғанда ғана бар болады. Басқаша айтқанда (4) қатынасын қанағаттандыратын, яғни түріндегі сандар ғана 4-ке квадраттық қалынды бола алады. Сондықтан:

салыстыруларының біріншісі ғана шешімді де, қалғандары шешімсіз.
4. жағдай.
Айталық
(5)
салыстыруы берілсін. (5) салыстыруының шешімі болса, ол тек тақ сан болуға тиіс. Ал барлық тақ сандар жиыны 4 модулі бойынша екі класқа бөлінеді: Бұдан


Екені түсінікті. Демек, (5) салыстыруы орындалуы үшін, (6) шарты қажет. Керісінше, (6) шарты орындалса, (5) салыстыруды 8 модулі бойынша 4 класқа бөлінетін

барлық тақ сандар қанағаттандырады.Басқаша айтқанда (6) шартына бағынатын сандары ғана 8-дің квадраттық қалындылары болады.
Сонымен, модулі үшін мүмкін болатын әр түрлі барлық жағдайларды қарастыру нәтижесінде, төмендегідей тұжырымға келеміз.
Теорема.Екінші дәрежелі

салыстыруының болғанда бір ғана шешімі бар, болғанда екі шешім бар немесе бірде-бір шешім жоқ.Ең ақырында, болғанда оның шешімінің саны

шартына байланысты, яғни бұл шарт орындалмаса, салыстырудың 4 шешімі бар, орындалмаса, салыстыруда бірде-бір шешім жоқ.
Мысал. барлық түбірлерін табайық. Мұнда Салыстырудың 4 шешімі бар. Оларды табу үшін алдымен

салыстыруын шешеміз. Кейінгі салыстырудың мына

Түбірлері бар екені түсінікті. Ал, мұндағы 7 саны берілген салыстыруды да қанағаттандырады. Салыстырудың шешімдері төмендегідей екенін табамыз: