Өзбекстан республикасының жоғары және орта білім беру министрлігі

Бірінші дәрежелі салыстыруларды шешу
Айталық мынадай салыстыру
(1)
Берілсін, мұнда

Бүтін рационал коэффициентті полином.
Анықтама. болған жағдайда (1) салыстыру n – дәрежелі салыстыру деп аталады.
Анықтама. (1) салыстыруды шешу дегеніміз полиномының мәні модуль –ға бөлінетін барлық бүтін сандарын табу аталады.
Міне, осындай сандарын (1) салыстырудың шешімдері (түбірлері) деп атайтын боламыз. Салыстырудың шешімдері жөнінде мынадай пікір бар: егер саны (1) салыстырудың шешімі болса, онда модулі бойынша - мен салыстырымды әрбір саны да оның шешімі бола алады.
Шынында да, егер салыстыруы дұрыс болса, онда салыстырулардың 10-қасиеті бойынша, мына

салыстыру да орындалады. Алайда ,демек, орындалады. Сонымен өкілі бір ғана кластың барлық сандары (1) салыстырудың шешімдері бола алады. Әдетте өзара салыстырымды шешімдері әр түрлі емес, бір ғана шешім болып есептеледі.
Сондықтан (1) салыстырудың шешімі не түбірі деп осы салыстыруды қанағаттандыратын сандар класын айтады.(1) салыстырудың түбірі былай жазады: Сөйтіп, салыстыруды шешу дегеніміз, ақырында, берілген модулі бойынша өзара салыстырымды болмайтын оның барлық шешімдерін табуға келіп тіреледі.

1. 
   салыстыруды кез келген түбірі мына
   

Орындалысымен, не түбірі болады және керісінше де, соңғы салыстырудың әрбір түбірі (1) салыстыруды да қанағаттандырады. Бұл салыстыруларды әртүрлі деп есептеуге болмайды, өйткені бұлардың түбірлері ортақ. Бұған қарағанда, берілген салыстыруларды кез келген осымен салыстырылатын басқа бір санмен алмастырып, ал коэффициенттері модульге бөлінетін қосылғыштарды шығарып тастауға болады.

1. 
   Салыстырудың барлық түбірлерін табу үшін модулі болатын 0,1,2,... қалындылардың толық системасының барлық сандарын біртіндеп сынап шығу жеткілікті. Солардың ішінен қайсысын алғанда мәні -ға бөлінетін болса, сол сандар (1) салыстырудың ізделінді түбірлері болмақ.
   

Сөйтіп,(1) түрдегі салыстырулардың барлығының да шешулерінің саны шектеулі.
Мысал. Мына салыстырудың мынадай үш шешімі:


(2)

2. 
   салыстыруды шешкенде 3 түрлі жағдай болуы мүмкін.
   

1-жағдай. Айталық (2) салыстырудағы белгісіз х-тің а коэффициенті мен -ның 1-ден өзгеше ортақ бөлгіші жоқ делік: Мұндай жағдайда (2) салыстырудың шешімі болатынын және тек жалғыз ғана шешімі болатынын көрсетейік. Шынында да, өрнегінде х-тің орнына қалындылардың 0,1,2,..., толық системасының әрбір санын қоятын болсақ, мынадай сандар қатары шығады:
(3)
(3)қатардың барлық сандары да өзара салыстырымды еместігін тексеру оңай, демек, бұл сандар модулы әр түрлі кластарға енеді.
Шынында да, айталық

мұнда

Бұдан мынадай салыстыру шығарып аламыз:

Ал бұлай болуы мүмкін емес, өйткені

Сонымен, (3) сандар қатары қалыңдылардың толық системасын құрайтын болып шықты, бұлай болғанда осы сандардың арасында 0 саны енген класқа тиісті жалғыз саны бар, яғни

rсаны, мұнымен бірге оған сәйкес

класы да берілген (2) салыстырудың ізделініп отырған шешімі болып табылмақ. Осы келтірілген талқылау жолына қарағанда оның басқа шешімі бола алмайтынын да айтуға болады. Алайда бұған басқа жолымен де көз жеткізу қиын емес.
Шынында да, айталық (2) салыстырудың басқа бір шешімі бар делік. Бұл шешімді (2) салыстыруға апарып қойып, мына салыстыруларды табамыз:


Осы салыстырулардың бірін екіншісінен шегеріп және екендігін ескерсек, мынаны табамыз:

ал бұлай болуы мүмкін емес. Сондықтан

Яғни бұл шешімдер өзара тең.
(3) салыстырудың шешімі мына 0,1,2,..., сандарының әрқайсысын біртіндеп сынау арқылы табуға да болады.
Мысал. салыстырудың түбірін табу керек. Бұған х-тің орнына 0,1,2,3,4,5,6,7 сандарын біртіндеп қойып, 7 санының оны қанағаттандыратынын көреміз, олай болса, болады.
(2)салыстырудың түбірін тапқанда, жағдайда, Эйлер мен Ферма теоремаларына негізделетін басқа тәсілді қолдануға болады. Егер болса,онда Эйлер теоремасы бойынша,

болады. (2)салыстырудың екі жақ бөлігін де санына көбейтсек,

шығады.Мұндағы санын оның өзімен салыстырымды 1 санымен алмастырсақ, ізделініп отырған шешімнің өзін шығарып аламыз:
(4)
Егер де болса, онда модулына бөлгенде шығатын қалдықпен алмастырып, ақтық шешімді табамыз.
Жоғарыда қарастырылған мысалында, демек (4) формуладан мынаны табамыз:

2-жағдай. Айталық, а мен k сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші болсын, мұнымен бірге (2) салыстырудың оң жақ b бөлігі d-ге бөлінетін болсын. Сонда (2) салыстырудың дәл dшешімдері болатынын көрсетейік.
Айталық, (2)салыстырудың екі жақ бөлігін де және kмодулын олардың ортақ d бөлгішіне бөліп, мына салыстыруды табамыз:
(5)
Сөйтіп, (2) салыстыруды шешу үшін (5) салыстырудың шешімдерін табу қажет. Соңғы салыстыруда белгісіз х-тің коэффициенті мен модуль өзара жай сан. (5) салыстырудың,1-жағдайға қарағанда, жалғыз ғана шешімі болады:
(6)
Мына салыстыруларға

Қарап, (5) салыстырудың (6) шешімі (2) салыстыруды да қанағаттандыратынын байқаймыз. Сонымен, сандар класына (2) салыстырудың барлық шешімдері енеді. Алайда модулы k(2) салыстырудың шешімдері модулы kкластардың өкілдерінің арасында болуға тиісті. Сондықтан да (2) салыстырудың шешімдерін барлығын табу үшін, модулы

Класындағы барлық сандарды модулы бойынша dкластарға ажырату керек. класы мына кластарға ажырайды:


(7)


Міне, осылардың өздері (2) салыстырудың ізделінді түбірлері болмақ.
Сонымен, егер болса, онда (2) салыстырудың дәл dшешімі болады да, бұл шешімдер (7) салыстырулар болып табылады.
Мысал. Айталық мына

Салыстырудың барлық түбірлерін табу керек дейік. Мұнда d=4 және а=8, b=20 екеуі де d-ға бөлінеді. Берілген салыстырудың екі жақ бөлігін де 4-ке қысқартсақ, шығатыны

Бұл салыстырудың шешімі жалғыз-ақ:

(7) формула бойынша берілген салыстырудың 4 шешімін табамыз:

3-жағдай. Айталық, ақырында, делік. Бұлай болғанда, (2) салыстыруда біз қарама-қарсы қайшылықтың барын байқаймыз,өйткені модуль k–мен ортақ dбөлгіші болмайтын bсаны барлық сандары ге бөлінетін класқа ене алмайды.
Бірінші дәрежелі салыстыруларды талдай келе, біз салыстырулар мен теңдіктердің арасындағы көптеген ұқсастықтардың болатындығымен қатар, олардың арасындағы үлкен-үлкен айырмашылықтың да барын байқадық:егер алгебралық теңдеудің әрқашан да, саны теңдеу дәрежесімен бірдей, түбірлері болатын болса, онда алгебралық салыстыруларды қарастыра келіп, біз олардың түбірлерінің саны салыстыру дәрежесінен артық та, кем де, тіпті түберлері болмайтын жағдайды да кездестіреміз.