Өзбекстан республикасының жоғары және орта білім беру министрлігі

7-қасиет Салыстырудың екі жақ бөлігін де модульмен өзара жай сан болып табылатын олардың ортақ бөлгішіне бөлуге болады.
Дәлелдеу.Айталық болса, онда k-ге бөлінеді және . Олай болса k-ге бөлінеді. Демек, a≡b (mod k).
8-қасиет Салыстырудың екі жақ бөлігін де және модульды бұлардың ортақ бөлгішіне бөлуге болады.
Дәлелдеу. Айталық болсын және де мұнда сандарының ортақ бөлгіші. Ал саны бөлінетін болғандықтан, саны –ге бөлінеді, яғни
9-қасиет Бірнеше модуль бойынща өзара салыстырымды сандар осы модульдардың ең кіші еселігіне тең модуль бойынша да салыстырымды болады.
Дәлелдеу. Айталық, мына салыстырулар берілген болсын:




айырмасы мына сандардың әрқайсысына бөлінеді, олай болса, бұл айырма ол сандардың ең кіші ортақ еселігі де бөлінедң, яғни

Бұған кері пікір де, әрине, дұрыс болады: егер сандары модулә бойынша салыстырымды болса, онда олар кез келген бөлгіш (модуль ретінде) бойынша да салыстырымды болады. Егер және –ның кез келген бөлгіші болса, онда да болады.
10-қасиет Егер бүтін коэффициентті болса және де егер бүтін үшін болады.
Дәлелдеу.Шынында да, мына салыстырудан
( 1)
6-қасиет бойынша, мыналар шығады:
(2)

1. 
   және (2) салыстырулардың екі жақ бөлігін де сәйкес сандарына көбейтіп және бұларды мүшелеп қосатын болсақ, онда бұлардың әрқайсысына санына арттырғаннан кейін мынау шығады:
   

дәлелдемекшіміз де осы болатын.
Cандар теориясы. Абел топ , сақина және сан өрісі ұғымыдары анықтамалары

Кейбір алгебралық системалардағы алгебралықамалдардың қасиеттері мектеп математика курсында көріп өтілген қосу және көбейту амалдары қасиеттеріне жақын қасиеттерге ие болады. Мұндай алгебралық системалар қатарына топ, сақина , сан өрісі, сызықты кеңістік және сызықты алгебралар кіреді.