O’zbekiston respublikasialoqa va axborotlashtirish agentligi

1.2. Fridrixs modeli keltiriluvchi ba’zi matematik modellar.
Fazodagi klassik gaz harakati modeli. chegaralangan to’plam bo’lsin. da harakatlanayotgan ta bir xil nuqtali zarralar sistemasini qaraymiz. Bunda har bir zarra koordinatasi , va uning tezligi , tezligi bilan xarakterlanadi (qarang. Минлос Р. А. Введение в математическую статистическую физику. М.: МЦНМО, 2002). Shuning uchun qaralayotgan sistema holati quyidagi ketma-ketlik orqali xarakterlanadi:
, , , ,
bunda ─ koordinatalar fazosi, ─ tezliklar (koordinatalar) fazosi. Bunday ketma-ketliklar fazosi dekart ko’paytmasini tashkil etadi:
.
Shunday qilib, to’plam bitta zarracha holatlari ifodalaydi.
holatning funksiyasi hisoblanuvchi, sistema energiyasi Gamilton funksiyasi deb yuritiladi va u tizimning asosiy xarakteristikasi hisoblanadi:
,
bu erda ─ zarrachalarning umumiy massasi, ─ va nuqtalardagi zarralar orasidagi ta’sirlashishning potensial energiyasi, ─ sistemadagi chegaraviy potensial (zarrachaning tashqi manba bilan o’zaro ta’siri), ─ sistemadagi kinitik energiya, ─ sistemadagi potensial energiya.
va nuqtalardagi zarralar orasidagi ta’sir qisqa ta’sirlashuvchi deb olinadi, ya’ni zarralar orasidagi masofa ortganda ta’sir kamayuvchi funksiya deb olinadi. Masalan, bo’lsa, va bo’lsa, . Umuman olganda, potensial va nuqtalardagi zarralarning turgan o’rnidan bo’gliq bo’lmaydi va ular orasidagi masofadan bo’gliq bo’ladi, shuning uchun, .
Ushbu qaralayotgan tizimda zarralar soni , sitsemadagi chegaraviy potensial ta’sirlashmaydi deb qaralsa, zarralarning harakatini aniqlovchi holatlar quyidagi operatorning spektral xossalari orqali aniqlanadi: ,



Bu erda va Laplas operatorlari. operator uchun ushbu integral yoyilma o’rinli:


,
Bunda operator fazoni fazoga akslantiruvchi operator Fridrixs model operatorini tashkil etadi, to’la kvazi impuls qiymati bo’lib, operatorning spektri sistemadagi 2 ta zarrachaning kinitek energiyasini ifodalaydi. Agar soni Fridrixs model operatorining xos qiymati unga mos xoc funksiya bo’lsa, soni sistemadagi 2 ta zarrachaning potensial energiyasini mos xos funksiya esa va nuqtalardagi zarralarning bog’langanlik holatlarini ifodalaydi.
Ushbu operatorning xos qiymatlarini aniqlash chekli yoki ixtiyoriy integral operatorning xos qiymatlarini o’rganish masalasiga keltiriladi.