O’zbekiston respublikasialoqa va axborotlashtirish agentligi

Ta’rif. Agar operator A ga teng, ya’ni bo’lsa, u holda A o’z-o’ziga qushma operator deyiladi.
Spektr ta’rifi
Chiziqli operatorlar nazariyasida asosiy tushunchalardan biri spektr tushunchasidir. Spektr tushunchasini bayon qilish uchun bizga teskari operator tushunchasi kerak bo’ladi. Quyida biz chiziqli operatorlarning spektriga oid bo’lgan ba’zi bir ta’rif va tushunchalarni keltiramiz.
Ta’rif. va - Gilbert fazolari va chiziqli operator bulsin. Agar istalgan uchun tenglama yagona echimga ega bo’lsa, u holda A teskarilanuvchan operator deyiladi. Har bir y elementga fazodan tenglikni qanoatlantiruvchi yagona elementni mos qo’yuvchi operator A ga teskari operator deyiladi va u kabi belgilanadi.
Tasdiq. E – Gilbert fazosida aniqlangan T operator teskarilanuvchan bo’lishi uchun Tx=0 tenglama faqat nol echimga ega bo’lishi zarur va etarlidir.
Bizga E –Gilbert fazosini o’zini-o’ziga akslantiruvchi A- chiziqli operator berilgan bo’lsin. I orqali E da aniqlangan birlik operatorni belgilaymiz.
Agar operator teskarilanuvchan va teskari operator butun fazoda aniqlangan bulsa, z ga A operatorning regulyar nuqtasi deyiladi. A operatorning barcha regulyar nuqtalar to’plami kabi belgilanadi.
A operator regulyar bo’lmagan barcha nuqtalar to’plami A operatorning spektri deyiladi va u odatda ko’rinishda belgilanadi. Spektr xos qiymat, uzluksiz spektr, diskret spektr, muhim spektr kabi qismlarga bo’linadi.
Agar A o’z-o’ziga qo’shma operator bo’lsa, uning barcha xos qiymatlari haqiqiydir, chunki tenglikdan tenglikni olishimiz va skalyar ko’paytmalarning haqiqiy sonlar bo’lishi sababli ning haqiqiy ekanligi kelib chiqadi. Keyin, A=A* va xos qiymatlarning haqiqiy ekanligi sababli A operatorning har xil xos qiymatlariga mos keluvchi xos vektorlari ortogonaldir.


Teorema. A o’z-o’ziga qo’shma operator va

bo’lsin. U holda A operatorning spektri to’liq [m, M] kesmada yotadi.
Agar biror z soni uchun tenglama nolmas yechimga ega bo’lsa, u holda ushbu z soni A operatorning xos qiymati va unga mos echim fE esa z ga mos xos funksiya (xos vektor) deyiladi (qarang: [20]).
Agar z soni A operatorning xos qiymati bo’lib, u to’plamning yakkalangan nuqtasi bo’lsa, u holda z soni A operatorning yakkalangan xos qiymati deyiladi.
Agar z soni A operatorning xos qiymati bo’lib,
dim Ker(A-zI)=n
bo’lsa, u holda z xos qiymatning karrasi n ga teng deyiladi. Agar n=1 bo’lsa, u holda z oddiy xos qiymat deyiladi.
A operatorning barcha chekli karrali yakkalangan xos qiymatlari to’plami A operatorning diskret spektri deyiladi va u kabi belgilanadi.
Agar operator mavjud bulib, uning aniqlanish sohasi butun E fazoga teng bo’lmasa, u holda z soni A operatorning uzluksiz spektriga qarashli deyiladi (qarang:[2,17,18]).
Qayd etish kerakki, agar z soni A operator uchun xos qiymat bo’lsa, u holda operatorga teskari operator mavjud emas.
Ta’rif. Agar normasi birga teng bo’lgan va nolga kuchsiz ma’noda yaqinlashuvchi sistema mavjud bo’lib,

tenglik o’rinli bo’lsa, z soni A operatorning muhim spektri ga tegishli deyiladi.