O’zbekiston respublikasi xalq ta`lim vazirligi a. Qodiriy nomidagi jizzax davlat pedagogika instituti fizika-matematika fakulteti matematika o’qitish metodikasi kafedrasi

1-ta’rif. Agar da funksiya biror funksiyaning hosilasiga teng, ya’ni intervaldan olingan ixtiyoriy uchun bo‘lsa, u holda funksiya intervalda funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi deyiladi.
Masalan,

1. 
   bo‘lsin. Bu funksiyaning intervalda boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi, chunki da [3]
   
2. 
   ning oraliqda boshlang‘ich funksiyasi bo‘lishi ravshan.
   

Ravshanki, agar biror oraliqda funksiya ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy o‘zgarmas son uchun

funksiya ham ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi, chunki

Bundan quyidagi xulosa kelib chiqadi: agar funksiya biror boshlang‘ich funksiyaga ega bo‘lsa, u holda uning boshlang‘ich funksiyalari cheksiz ko‘p bo‘ladi.
Quyidagi savol tug‘ilishi tabiiy: biror oraliqda berilgan funksiyaning barcha boshlang‘ich funksiyalari formula bilan ifodalanadimi, boshqacha aytganda funksiyaning formula bilan ifodalanmaydigan boshlang‘ich funksiyalari mavjudmi?
Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.
1-teorema. Agar biror oraliqda funksiya ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda funksiyaning ixtiyoriy boshlang‘ich funksiyasi o‘zgarmasning biror qiymatida formula yordamida ifodalanadi. [1]
Isboti. Faraz qilaylik funksiya qaralayotgan oraliqda funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin. Ushbu yordamchi funksiyani qaraymiz. Bu funksiya uchun bo‘ladi, ya’ni, qaralayotgan oraliqda funksiya uchun funksiyaning doimiylik sharti bajariladi. Boshqacha aytganda ya’ni bo‘ladi. Demak, funksiya formuladan ning biror qiymatida hosil bo‘ladi.
Shunday qilib, agar oraliqda berilgan funksiyaning bitta boshlang‘ich funksiyasi ma’lum bo‘lsa, u holda uning barcha boshlang‘ich funksiyalari bu yerda ixtiyoriy o‘zgarmas son, ko‘rinishda ifodalanar ekan.