O’zbekiston respublikasi xalq ta`lim vazirligi a. Qodiriy nomidagi jizzax davlat pedagogika instituti fizika-matematika fakulteti matematika o’qitish metodikasi kafedrasi

Bo`laklab integrallash usuli

Bizga ikkita diferensiallanuvchi u(x) va v(x) funksiyalar berilgan bo`lsin. Bu funksiyalar ko`paytmasi (uv) ning differensialini topaylik. Bu differensial quyidagicha aniqlanadi:

d(uv)=udv+vdu
Buni ikki tomonini hadma-had integrallab, quyidagini topamiz:


Oxirgi topilgan ifoda bo`laklab integrallash formulasi deyiladi.
Bu formulani ko`llab integral hisoblaganda ko`rinishdagi integral, ancha sodda bo`lgan ko`rinishdagi integralga keltiriladi.
Agar integral ostida u=lnx funksiya, yoki ikkita funksiyaning ko`paytmasi, hamda teskari trigonometrik funksiyalar qatnashgan bo`lsa,bunda bo`laklab integrallash formulasi qo`llaniladi. Bu usul bilan integrallaganda yangi o`zgaruvchiga o`tishning hojati yo`q.
Umuman aniqmas integralni hisoblaganda topilgan natija yoniga o`zgarmas (S=const) ni qo`shib qo`yish shart. Aks holda integralning bitta qiymati topilib, qolganlari tashlab yuborilgan bo`ladi. Bu esa integrallashda xatolikka yo`l qo`yilgan deb xisoblanadi.
Misol. [4] ni hisoblang.

(bunda S=0 deb olindi) formulani qo`llaymiz.

ni alohida hisoblaymiz

buni (*) ga qo`yamiz.

Mustaqil bajarish uchun berilgan topshiriqlarni hisoblash usuli

1- misol. [3] integralni toping.
Echish; Suratni hadma-had maxrajga bo`lib, integral ostidagi funksiyani qo`shiluvchilarga ajratamiz va integralni topamiz.



Aniqmas integralning umumiy yechimi

ga teng bo’ladi.
2-misol. [3] integralni toping.
Echish; Bu integralni hisoblash uchun aniqmas integralni hisoblashning “O`zgaruvchilarni almashtirish yoki o`rniga qo`yish” usulidan foydalanamiz.
bunda deb olamiz. Bu holda bo`ladi.
Demak,

Aniqmas integralning umumiy yechimi

ga teng bo`ladi.


3-misol. integralni toping.
Echish; Bu integralni hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz.

Formulaga asosan integral quyidagichi hisoblanadi.

Demak, aniqmas integralning umumiy yechimi

ga teng bo`ladi.


4-misol. integralni toping.
Echish; Bu integralni hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz.

Formulaga asosan integral quyidagichi hisoblanadi.

Demak aniqmas integralning umumiy yechimi

ga teng bo`ladi.


5-misol. integralni toping.
Echish; Bu integralni hisoblash uchun aniqmas integralni hisoblashning “O`zgaruvchilarni almashtirish yoki o`rniga qo`yish” usulidan foydalanamiz.
bunda deb olamiz. Bu holda bo`ladi. Demak,

Aniqmas integralning umumiy yechimi

ga teng bo`ladi.
6-misol. integralni toping.
Echish; Bu integralni hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz.

Formulaga asosan integral quyidagichi hisoblanadi.

Demak, aniqmas integralning umumiy yechimi

ga teng bo`ladi.


7-misol. integralni toping.
Echish; Bu integralni hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz.

Formulaga asosan integral quyidagichi hisoblanadi.

Demak aniqmas integralning umumiy yechimi

ga teng bo`ladi.
8-misol. integralni toping.
Echish; Bu integralni hisoblash uchun aniqmas integralni hisoblashning “O`zgaruvchilarni almashtirish yoki o`rniga qo`yish” usulidan foydalanamiz.
bunda deb olamiz. Bu holda bo`ladi. Demak,

Aniqmas integralning umumiy yechimi

ga teng bo`ladi.
9-misol. integralni toping.
Echish; Bu integralni hisoblash uchun aniqmas integralni hisoblashning “O`zgaruvchilarni almashtirish yoki o`rniga qo`yish” usulidan foydalanamiz.
bunda deb olamiz. Bu holda bo`ladi. Demak,

Aniqmas integralning umumiy yechimi

ga teng bo`ladi.
10-misol. integralni toping.
Bu integralni hisoblash uchun aniqmas integralni hisoblashning “O`zgaruvchilarni almashtirish yoki o`rniga qo`yish” usulidan foydalanamiz.
bunda deb olamiz. Bu holda bo`ladi. Demak,

Aniqmas integralning umumiy yechimi

ga teng bo`ladi.