|
3§ EYLER SHARTI.
Grin formulasi.
Yassi tekislik ni qaraylik. Bunda
Boz ustiga va funksiyalarni barcha larda uzluksiz va chekli sondagi nuqtalarda birinchi tur uzilishiga ega bo’lishi mumkin deb faraz qilamiz.
Ta’rif-1: to’plam o’qi bo’ylab elementar deyiladi, agar u bo’ylab qavariq bo’lsa va u kesmaga proeksiyalanadi. [1]
1-rasm o’qi bo’ylab qavariq. 2-rasm o’qi bo’ylab qavariqmas.
Ta’rif-2: Agar o’qi bo’ylab elementar bo’lsa, u holda uni chegarasi chekli dona yoylardan iborat bo’ladi va ular va funksiyalar bilan aniqlanadi. Xuddi shunday u vertikal kesmalar bilan chegaralanadi.
Xuddi shunday o’qi bo’ylab elementar bo’lgan to’plamni ham qarash mumkin. 4.5-rasmlar to’plam tashkil qiluvchi deyiladi, agar uni chekli qismlarga ajratgan ular yoki o’qi bo’ylab elementar to’plamlarni tashkil qilishsa
Teorema: Agar va funksiyalar sohada o’zlarining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo’lsa, u holda
(1)
formula o’rinli bo’ladi. Bunda sohaning chegarasi (1) formula grin formulasi deyiladi.
Isbot: Faraz qilaylik kontur bilan chegaralangan soxa muntazam bo’lsin.
Bu soxa quyidagi egri chiziq bilan yuqoridan egri chiziq bilan chegaralangan. Ularning tenglamalari mos ravishda va bo’lib hamda . Buunday sohani quyidagi tengsizliklar sistemasi bilan ifodalash mumkin.
Ikkala va egri chiziqlar birgalikda yopiq konturni tashkil qiladi.
Dastlab
Ikki o’lchovli integralni qarab chiqamiz va uni egri chiziqli integralga almashtiramiz. Buning uchun uni ikki karrali integral ko’rinishda ifodalaymiz.
(2) ning o’ng tomonida turgan integralni har biri ikkinchi tur egri chiziq integrallarni har biri ikkinchi egri chiziq integral bo’lib, ular tegishli egri chiziq bo’ylab olingan.
Demak (2) ifodani quyidagicha yozish mumkin.
yani
ham yuqoridagi singari isbotlanadi.
Misol. Grin formulasi yordamida quyidagi egri chiziqli integralni hisoblang. [3]
bunda
aylanadir.
Echish. ; funksiya va ularning xususiy hosilalari butun tekislikda uzluksiz. Demak, oypiq doirada ham uzluksizdir. Binobarin, isbotlangan teoremaga ko’ra Grin formulasi berilgan integralda ko’llanishi mumkin.
Demak
chunki
Bunda S- integrallash sohasi yuzi. Bizning holda natijani bevosita hisoblash mumkin. Buning uchun aylana tenglamasini parametrik ko’rinishda yozamiz.
Bunda (9) formula bo’yicha egri chiziqli integralni hisoblaymiz.
.
Grin teoremasi: Agar va funksiyalar tashkil qiluvchi to’plam chegarasigacha uzluksiz va differensiallanuvchi bo’lsa u holda
tenglik o’rinli bo’ladi. [1] Bunda chegarada yo’nalish shunday tanlanadiki, ko’rsatilgan yo’nalish bo’ylab harakat qilinganda soxa chap tomonda qolsin.
Shuni eslatishimiz lozimki, fuksiya chegaragacha uzluksiz defferensiollanuvchi bo’ladi, agar u biror to’plamda uzluksiz defferensiollanuvchi bo’lib, to’plamga to’plam qism to’la bo’lsa,
Egri chiziqli integralni chiziq ko’rinishga bog’liq emasligi.
-bir bog’lanish soha bo’lib,bir uchi va ikinchi uchi bo’lgan egri chiziq shu soxaga qarashli bo’lsin. Quyidagi integralni qaraylik.1-rasm.
Bunda va lar uzluksiz va ga uning chegarasigacha uzluksiz differensiallanuvchi. Agar ixtiyoriy va da kattalik ni va ni berilishi bilan to’la aniqlansa u holda integral integrallash chuzig’i ga bog’liqmas deyiladi. (2-rasm).Bir bog’lamli va ko’p bog’lamli soxolarga quyidagilarni misol keltiramiz.
Bir bog`lamli soxalar:
Ko`p bog`lamli soxalar
Egri chiziqli integralni koordinatalarga bog’liq emaslik alomati.
integral egri chiziqga bog’liq emas, ( chiziq bog’liqli soxada bilan boshlanib, bilan tugaydi.) Agar da va funksiyalar uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib quyidagi shart bajrilsa
Bu shart Eyler sharti deb ataladi.
Bu erda ko’rinib turibdiki soxaning bir bog’lanishli ekani muhim shart.
Masalan [3] uchun shart bajarilsin. Agar
shart bajarilisidan
sharti bajarilsin.
Misol-1. [5]
asteroid bilan chegaralangan figura yuzasi topilsin.
Echish.
Misol-2. [5] Agar bo’lsa bo’ylab.
integralni hisoblang.
Echish.
Misol-3. [3] intrgralni bo’lsa egri chiziq bo’ylab integrallang.
Echish. ko’rinib turibdiki, Chunki urinma tekislik sirtga nuqtada tekislikka parallel.
XULOSA
Ish kirish, ikki bob, xulosa va foydalangan adabiyotlar ro’yhatidan iborat bo’lib, ishning kirish qismida ishning dolzarbligi, ishning maqsadi va mavzu qisqacha yoritilgan.
Ishning birinchi bobi, Bir o`zgaruvchili funksiyalar egri chiziqli integraliga bag’ishlanib, uning birinchi paragrifida Aniq integrallar, ikkinchi paragrifida Aniqmas integrallar, uchinchi paragrifida Egri chiziqli integrallar qaralgan. Bunda aniqmas integral ta’rifi, Darbu yig’indilari va boshlang’ich funksiya tushunchalari qaralgan. Aniq integralda yuzani aniqlashi va Nyuton-Leybnis formulasi keltirib chiqarilib, bunda funksiya ta’rifidan foydalanishi asoslangan. Xuddi shunday bu bobda integrallar xossalari hamda integrallash usullari: bevosita integrallash, o’zgaruvchini almashtirib integrallash, bo`laklab integrallash qaralgan. Bu usullar orqali yuzani tapish formulalari keltirib chiqarilgan.
Ishning ikkinchi bobi ikki o`zgaruvchili funksiyalar egri chiziqli integraliga bag’ishlanib, uning birinchi paragrifida Egri chiziqli integrallar tadbiqlari, ikkinchi paragrifida Kordinatalar bo`yicha egri chiziqli integral, uchinchi paragrifida Eyler sharti qaralgan.
Ishni bajarishda quyidagi natijalar olingan.
Birinchi tur egri chiziqli integrallar o`rganilib, tadbiqi masalalarda qaralgan.
Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar o`rganilib, tadbiqi masalalarda qaralgan.
Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar geometriyasi o`rganilgan.
Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar orasidagi bog`lanish o`rganilgan.
JDPI fizika-matematika fakulteti matematika o`qitish metodikasi yo`nalishi 405-guruh talabasi Murotqobilova Bahoraning “Egri chiziqli integrallarning ba’zi turlari” mavzusida yozilgan bitiruv malakaviy ishiga ilmiy rahbar
Do'stlaringiz bilan baham: |
