O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika ta’lim yo‘nalishi

Gradientning xossalari bilan tanishaylik.

1.

2. (c=const)
3.
4.
5.
Gradient vektorini hisoblashga doir bir nechta misollar ko‘raylik:
3-misol. ([4], 473-bet). Quyidagi tenglik bilan berilgan maydonning ko‘rsatilgan nuqtalardagi gradientini toping.
a) ; b) ; c) .
Yechish: Biz bu misolni yechishda eng avvalo berilgan maydon tenglamasining barcha o‘zgaruvchilari bo‘yicha xususiy hosilalarini topib olishimiz kerak. Bu xususiy hosilalar esa quyidagilardir:
; ; .
Maydonning o‘zgaruvchilari bo‘yicha olingan xususiy hosilalarning berilgan nuqtadagi qiymatlarini hisoblaymiz ular orqali esa maydon gradientini hisoblay olamiz.
a) ; ;
bu olingan qiymatlardan esa biz gradient vektori tenglamasini yozamiz.

(7) formuladan esa bu gradientning son qiymatini (modulini) hisoblaymiz.

b)
bulardan esa gradient vektori tenglamasi quyidagicha ekani kelib chiqadi.

(7) formuladan esa ma’lum bo‘ladiki .
c) ;
bulardan esa gradient vektori tenglamasi quyidagicha ekani kelib chiqadi.

(7) formuladan esa ma’lum bo‘ladiki
4-misol. ([4], 473-bet). Quyidagi tenglama bilan berilgan maydonning ko‘rsatilgan nuqtalardan o‘tkazilgan gradient vektorlari orasidagi burchak kosinusini hisoblang:

.
Yechish: bilan bizga kerakli burchakni belgilab olaylik. Albatta biz bu burchak kosinusi topishimiz uchun bizga berilgan nuqtalardagi gradient vektori tenglamasi kerak bo‘ladi. Demak, biz avvalo gradient tenglamasini topamiz. Keyin esa ikki vektor orasidagi burchak kosinusini topish formulasidan foydalangan holda biz o‘zimizga kerakli natijani hosil qila olamiz.
Gradient tenglamasini topish uchun biz avvalo berilgan maydonning barcha o‘zgaruvchilari bo‘yicha xususiy hosilalarini topib olamiz.
; ;
endi esa bu xususiy hosilalarning nuqtalardagi qiymatini hisoblaymiz. Buning uchun bu ikkita nuqtaning koordinatalarini biz hosil qilgan xususiy hosilalarning o‘zgaruvchilari o‘rinlariga mos joylashtiramiz:
A nuqtada
B nuqtada
Bu olingan natijalardan biz gradient vektorlari tenglamalarini topamiz. Ular quyidagilardir:


bu tenglamalarni esa biz ikki vektor orasidagi burchak kosinusini topish haqidagi formulaga joylashtirgan holda ular orasidagi burchaa ko‘sinusini topamiz.

bu formuladagi va larning vektor tengliklarini mos ravishda joylaymiz, va quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:

= =
=
demak,