O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika ta’lim yo‘nalishi

Oqimni hisoblash: Oqimni hisoblashning bir necha usullari bilan tanishamiz.
Oqimni formula yordamida hisoblash mumkin.
Oqimni bu formula bo‘yicha hisoblashda va larni hisoblash kerak. Agar sirt tenglamasi ko‘rinishida berilgan bo‘lsa, bo‘ladi.
10-misol. ([5], 33-bet). Koordinatalar boshiga joylashtirilgan q zaryad kuchlanganligi maydonini hosil qiladi. Bu maydonning markazi koordinatalar boshida joylashgan radiusi R ga teng bo‘lgan sfera sirtidan o‘tuvchi oqimini toping. Normal vektor koordinata boshidan chiqqan.
Yechish: Sferaga o‘tkazilgan vektor radius vektorga kollinear bo‘lgani uchun bo‘ladi. U holda

sfera sirtida r=R bo‘lgani uchun . sfera sirtining yuzi . Shuning uchun,

11-misol. ([5], 33-bet). vektor maydonning tekisligining birinchi oktandda joylashgan yuqori qismi bo‘yicha oqimi hisoblansin.
Yechish: tekislik tenglamasini kanonik shaklga keltiramiz:
. Bundan tekislikning normal vektori quyidagicha ekanligini aniqlaymiz: .
vektorning oqimi,

orqali hisoblanadi.

shunday qilib, oqim

ga teng ekan.
12-misol. ([5], 35-bet). vektor maydonning ( ) silindirning yon sirtining tashqi tomonidan o‘tuvchi oqimini toping.
Yechish: Oqimni hisoblash uchun ushbu formuladan foydalanamiz:

1) Avval intrgralni hisoblaymiz. Silindrning tenglamasi bo‘lgan qismida tashqi normal bilan x o‘qi orasidagi burchak o‘tkir burchak bo‘lgani uchun integral ishorasi “+” ishora bilan aniqlanadi. Silindr tenglamasi ko‘rinishda bo‘lgan sohada esa integral ishorasi manfiy bo‘ladi.
Demak,

2) integralni nisoblaymiz. Silindrning tenglamasi bo‘lgan qismida tashqi normal bilan y o‘qi orasidagi burchak o‘tkir burchak bo‘lgani uchun integral ishorasini “+” ishorasi bilan olamiz. Silindr tenglamasi ko‘rinishida bo‘lgan qismi uchun tashqi normal bilan y o‘qi orasidagi burchak o‘tmas burchak bo‘ladi, shuning uchun integralni bu qismida “-” ishorasi bilan olamiz.


oxirgi integralni takroriy integralga keltirib yechsak ekanligi kelib chiqadi.
3) integralni hisoblaymiz. o‘qi bilan silindrning tashqi normali burchak hosil qilgani uchun bo‘ladi. Shunday qilib, oqim bo‘ladi.
Vektor maydon divergensiyasi. Maydon divergensiyasi maydonning muhim xarakteristikalaridan biridir. Faraz qilaylik, biror sohada vektor maydon berilgan bo‘lib, barcha o‘zgaruvchilari bo‘yicha uzluksiz birinchi tartibli xususiy hosilalarga ega bo‘lsin.
Ta’rif. vektor maydonning divergensiyasi deb,
(23)
munosabat bilan aniqlanadigan skalyar miqdorga aytiladi.
Maydon divergensiyasining asosiy xossalari:
1.
2. agar ya’ni o‘zgarmas vektor bo‘lsa, u holda uning divergensiyasi no‘lga teng.
3. .
Bu yerda skalyar funksiya.
Birinchi va ikkinchi xossalarni isbotlash unchalik qiyin emas. Uchunchi xossani isbotlaylik.


yordamida vektor maydon skalyar maydonga aylanadi.
13-misol. ([5], 36-bet). maydonning divergensiyasini toping.
Yechish: Bu misolni yechishda bizga (23) formula yordam beradi. Undan foydalangan holda biz divergensiyani osongina hisoblay olamiz.
=1+1+1=3.
vektor maydonning prayeksiyalarini ushbu funkisyalar bilan belgilaylik. Natijada (23) divergensiy tenglamasi quyidagi ko‘rinishga keladi:
(24)