O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika ta’lim yo‘nalishi

Ostragradskiy formulasi:
=
=
endi esa quyidagi tenglikni yozamiz:
(25)
bu tenglikning o‘ng tomoni Ostragradskiy formulasining chap tomoniga teng ekanligi ma’lum. Ya’ni,

=
bundan quyidagi o‘rinli ekani kelib chiqadi:

= (26)
demak, (24), (25) va (26) lardan foydalangan holda Ostragradskiy formulasini quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
(27)
Endi esa (20) hamda (26) formulalardan foydalangan holda oqim formulasini quyidagicha ham tasvirlay olamiz:

(28)
yoki bu (28) formulaning yana bir ko‘rinishi sifatida quyidagi tenglik ham o‘rinlidir:

(27) formuladan quyidagi natija kelib chiqadi:
vektor maydonning (S) sirt bo‘ylab normal vektori yo‘nalishidagi oqimi shu vektor maydonning o‘zi chegaralangan sohasidagi divergensiyasining uch karrali integraliga tengdir.
Fazoda nuqtani olib uni yopiq sirt bilan o‘raylik. Ostragradskiy formulasi yordamida vektorning oqimini hisoblaylik.

Uch karrali integralga o‘rta qiymat haqidagi teoremani qo‘llasak,

bu yerda nuqta sohadagi biror nuqta. Oxirgi tenglikda sohani nuqtaga yaqinlashtiramiz ( nuqta nuqtaga yaqinlashadi):
(29)
bu (29) tenglikka birlik vaqt ichida birlik hajmdan oqayotgan suyuqlik miqdorining o‘rtacha quvvati tenglamasi deb ham aytish mumkin.
Endi esa (19) va (29) formuladan foydalangan holda quyidagi tenglikni hosil qilamiz.
(30)
bu formula vektor maydon divergensiyasi qiymatini topishning Dekart koordinatalar sistemasiga bog‘liq bo‘lmagan usulidir.
ni Gamilton vektori yordamida quyidagicha yozish ham mumkin:
(31)
bunda . Yana,
(32)
Biz ko‘rgan Gamilton vektori bilan rotor orasida ham bog‘lanish mavjud.
Rotor vektori bilan Gamilton vektori orasida quyidagicha bog‘lanish mavjud:
(33)
Biz sirkuliyatsiya, oqim va divergensiya qoidalaridan quyidagi yan bir oddiy fikrga kelamiz:
Yopiq egri chiziq bo‘ylab sirkuliyatsiya vektori shu egri chiziq bilan chegaralangan sohaning oqimiga tengdir.
Oqim va divergensiyalarni hisoblashga oid bir nechta misollar ko‘raylik.
14-misol. ([4], 475-bet). Hisoblang:

Yechish: Bu misolni yechishda avvalo determinantni hisoblab keyin esa divergaensiya formulasidan uning divergensiyasini topish mumkin. U quyidagicha topiladi:
=
=
15-misol. ([4], 475-bet). Hisoblang

bunda, .
Yechish: Misolni yechishda divergensiya haqidagi (23) formuladan foydalanamiz.
=
16-misol. ([4], 477-bet). Ushbu vektor maydonning sferaning birinchi oktandidagi oqimini hisoblang.
Yechish: Bu misolda birinchi oktand deyilgani uchun koordinata o‘qlarining musbat yo‘nalishlari olinadi.
(27) formulaga ko‘ra

bu integralni hisoblash uchun uni qutb koordinatalar sistemasida ifodalab olaylik.
Bunda quyidagilar o‘rinli:
;

.
Demak,
=
=

.
Demak,
= .
17-misol. ([5], 39-bet). vektor maydonning yopiq sirtdan o‘tuvchi oqimini toping.
Yechish: Sirt yopiq bo‘lgani uchun Ostragradskiy formulasidan foydalanamiz. Avval berilgan maydon divergensiyasini hisoblaymiz: buning uchun berilgan vektor maydonning koeffitsientlari bo‘lgan

lardan mos ravishda o‘zgaruvchilari bo‘yicha xususiy hosilalarini topib keyin esa ularni qo‘shamiz. Bu orqali esa biz oqimni hisoblashimiz uchun yordam beruvchi divergensiya qiymatini hisoblagan bo‘lamiz.
Bu divergensiya qiymati esa quyidagichadir:

demak,

bu yerda kesik ko‘nus hajmi.


.
Demak , vektor maydonning ko‘rsatilgan sirtdan o‘tuvchi oqimi ga teng bo‘lar ekan.