O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika ta’lim yo‘nalishi

Rotorning fizik ma’nosi. Qattiq jism o‘zgarmas burchak tezlik bilan aylanayotgan bo‘lsin. Qattiq jism nuqtalarining tezliklar maydonini va shu maydonning rotorini topaylik.
Koordinatalar sistemasini shunday tanlaylikki unda o‘qi jismning aylanish o‘qi bilan mos kelsin. Kinematikadan ma’lumki nuqtaning tezligi
ga teng. Bu yerda nuqtaning radius vektori: , burchak tezligi vektori : ga teng.
Tezliklar maydonini topamiz:
.
Maydonning nuqtadagi rotorini hisoblaylik:
.
Shunday qilib, qattiq jism tezligining rotori ikkilangan burchak tezligiga teng ekan.
Ixtiyoriy vektor maydonning biror nuqtadagi rotori maydonning shu nuqtadagi aylanma xarakat qilish imkoniyatini xarakterlaydi.
5-misol. ([4], 478-bet). (c-const) maydonning quyidagi aylana bo‘ylab sirkuliyatsiyasini hisoblang:

Yechish: deb belgilash olamiz. Bunda egri chiziq sifatida t qaraladi. Bizga ma’lumki .
Endi quyidagilarni yozamiz:


=1
endi esa sirkuliyatsiya formulasidan foydalanib bizga berilgan maydonning sirkuliyatsiyasini hisoblay olamiz. U quyidagicha topiladi:



6-misol. ([5], 52-bet) Quyidagi vektor maydon uyurmasini toping:

Yechish: Bizga berilgan vektor maydon uyurmasini hisoblashda biz rotorning dekart koordinatalar sistemasidagi vektor ko‘rinisi uchun berilgan determinantli formuladan foydalanamiz:
=


Demak, ekan.
Chiziqli integralning integrallash yo‘liga
bog‘liq bo‘lmaslik shartlari
Amaliyotda chiziqli integral integrallash yo‘liga bog‘liqmi yoki u faqat chiziqning boshlang‘ich va oxirgi nuqtasigagina bog‘liqligini aniqlash muhimdir. Chiziqli intagralning integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasligining uchta sharti mavjud.
1-teorema. ([5], 61-bet). (sirkuliyatsiyaning no‘lga tengligi haqida). Chiziqli integral integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasligi uchun ixtiyoriy yopiq kontur bo‘yicha olingan sirkuliyatsiya no‘lga teng bo‘lishi kerak.
Isbot: vektor maydon sirkuliyatsiyasini ixtiyoriy yopiq chiziq bo‘yicha integrallaylik.

Bu holatni quyidagi formula orqali ifodalashimiz mumkin:

bu tenglikdan sirkuliyatsiyaning no‘l bo‘lishi uchun bo‘lishi kerakligi kelib chiqadi. Ya’ni integralning boshlang‘ich va oxirgi qiymatlari mos kelgan ixtiyoriy chiziqlar bo‘yicha olingandagi qiymati teng bo‘lishi kelib chiqadi. Shuning uchun integral qiymati integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmaydi.
Bu mezon bo‘yicha chiziqli integralning integrallash yo‘liga bog‘liq emasligini tekshirish ancha mushkul. Integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmaydigan effektiv mezonni berishdan oldin yangi tushuncha kiritamiz.
Agar sohada yotuvchi ixtiyoriy yopiq konturni sohada yotuvchi sirt bilan tortish imkoniyati bo‘lsa, bunday sohalar bir bog‘lamli soha deyiladi. Bir bog‘lamli sohalarga doira, shar, kublar, misol bo‘la oladi. Bir bog‘lamli bo‘lmagan sohalarga halqa, tor (teshik kulcha) larni misol qilish mumkin.
2-teorema. ([5], 61-bet). (rotorning no‘lga tengligi haqida). Bir bog‘lamli sohada chiziqli integral integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasligi uchun sohaning har bir nuqtasida rotorning no‘lga teng bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot: Zaruriyligi. Chiziqli integral integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasin. Unda ixtiyoriy yopiq kontur bo‘yicha olingan sirkuliyatsiya no‘lga teng bo‘ladi. U holda,

ya’ni, rotorning ixtiyoriy vektordagi ixtiyoriy nuqtadagi prayeksiyasi no‘lga teng. Shuning uchun maydonning ixtiyoriy nuqtasida bo‘ladi.