|
1
0
arcsin
12
xdx
x
3.
0
)
0
(
cos
a
bxdx
e
ax
4.
7
5
2
)
,
(
2
x
xy
y
x
f
5.
y
y
xy
x
z
12
2
2
2
6.
x
x
x
y
y
1
3
7.
0
)
3
2
(
)
2
3
(
2
2
3
3
2
2
dy
x
y
y
x
dx
xy
y
x
8.
2
3
37
12
x
y
y
y
23-variant
1.
)
3
/
ln(
)
6
/
ln(
)
sin(
dx
e
e
x
x
2.
1
2
/
1
arcsin
3
dx
x
x
3.
1
2
x
x
dx
4.
y
x
ctg
y
x
f
)
,
(
5.
y
x
y
xy
x
z
12
3
2
2
6.
3
3
y
x
xy
y
7.
0
)
3
2
(
)
2
3
(
2
2
2
2
2
dy
y
y
x
dx
xy
x
8.
5
7
4
4
x
y
y
y
24-variant
1.
3
/
6
/
4
cos
sin
d
2.
2
/
1
0
2
1
arccos
dx
x
x
x
3.
1
2
2
)
1
(
x
dx
4.
5
4
)
,
(
3
x
y
x
y
x
f
5.
y
y
xy
x
z
6
2
2
6.
y
x
y
x
y
4
7.
0
)
3
(
)
3
(
3
2
2
3
dy
x
xy
dx
y
x
y
8.
x
x
y
y
y
cos
36
12
10
25-variant
1.
4
2
5
dx
x
2.
1
0
arcsin
xdx
3.
3
1
7
x
dx
4.
3
5
2
9
)
,
(
y
x
xy
y
x
f
5.
y
x
y
xy
x
z
3
4
5
2
2
6.
3
)
1
(
1
2
x
x
y
y
7.
0
3
)
3
1
(
4
2
3
dy
y
x
dx
x
y
8.
x
xe
y
y
y
3
34
10
26-variant
1.
2
2
2
)
2
ln(
)
2
(
e
e
x
x
dx
2.
1
0
arcsin
12
xdx
x
3.
0
)
0
(
cos
a
bxdx
e
ax
4.
7
5
2
)
,
(
2
x
xy
y
x
f
5.
y
y
xy
x
z
12
2
2
2
6.
x
x
x
y
y
1
3
7.
0
)
3
2
(
)
2
3
(
2
2
3
3
2
2
dy
x
y
y
x
dx
xy
y
x
8.
2
3
37
12
x
y
y
y
11
1-misol
. Integralni hisoblang
∫
Yechish:
∫
|
| |
∫
|
Javobi:
1
2
2-misol.
1
0
x
dx
xe
hisoblansin.
Yechish.
Bo’laklab integrallash usulidan foydalanamiz.
dx
e
dv
,
x
u
x
deb olamiz, b undan
du=dx
,
x
e
v
. U xolda
1
0
1
1
0
x
1
x
1
0
x
1
0
x
e
2
e
1
e
2
e
e
dx
e
xe
dx
xe
3-misol.
dx
x
x
1
1
3
2
2
2
3
xosmas integralning yaqinlashuvchanligini tekshiramiz.
Yechish:
Integral ostidagi funksiya [-1;1] kesma ichidagi x = 0 nuqtada uzulishga ega.
Shuning uchun uni quyidagicha hisoblaymiz.
7
4
14
)
6
7
9
6
7
9
(
lim
)
6
7
9
6
7
9
(
lim
|
)
6
7
9
(
lim
|
)
6
7
9
(
lim
)
2
3
(
lim
)
2
3
(
lim
2
3
lim
2
3
lim
2
3
3
1
3
7
0
0
3
1
3
7
0
0
1
3
1
3
7
0
0
1
3
1
3
7
0
0
1
1
1
1
1
3
2
3
4
0
0
3
2
3
4
0
0
3
2
2
0
0
1
3
2
2
0
0
3
2
2
a
a
b
b
x
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
a
b
a
a
b
b
a
b
a
a
b
a
b
b
Demak, berilgan xosmas integral yaqinlashuvchi.
4-misol.
funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping.
Avval birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz:
Yana bir marta differensiallab quyidagiga ega bo‘lamiz:
12
Oxirgi ikki ifodani solishtirib,
ekannligini ko‘ramiz.
5-misol.
y
x
y
xy
x
z
6
3
2
2
funksiya ekstremumi aniqlansin.
Yechish.
Birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz:
3
2
y
x
x
z
,
6
2
y
x
y
z
.
Ekstremum zaruriy shartidan foydalanib statsionar nuqtalarni aniqlaymiz:
6
3
2
y
x
y
x
bu yerdan
x=0, y=3; M(0;3)
Ikkinchi tartibli xususiy hosilalarning
M(0;3)
nuqtadagi qiymatlarini topamiz:
2
2
2
x
z
,
1
2
y
x
z
,
2
2
2
y
z
.
Endi diskriminantni tuzamiz
0
3
1
2
2
2
B
AC
A>0.
Demak,
M(0;3)
nuqta berilgan funksiyaning minimum nuqtasi. Bu nuqtada funksiya
qiymati
9
min
z
.
6-misol.
Quyidagi o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamani umumiy
echimini toping.
0
2
2
dy
yx
y
dx
x
xy
Yechish.
Bu
tenglamadan
0
1
1
2
2
dy
x
y
dx
y
x
yoki
dx
y
x
dy
x
y
1
1
2
2
tenglamani
ko‘paytmaga bo‘lib,
o‘zgaruvchilarga ajralgan differensial tenglamani hosil qilamiz, ya’ni,
2
2
1
1
x
xdx
y
ydy
tenglamani ikki tarafini integrallab
2
2
1
1
x
xdx
y
ydy
tenglamani umumiy integralini xosil qilamiz
1
1
2
2
y
x
13
.
Logarifm xossasiga binoan quyidagini yozamiz
1
1
2
2
x
C
y
.
Tenglamani umumiy echimi
1
1
2
x
C
y
.
7-misol.
bir jinsli differensial tenglamaning umumiy
echimini toping.
Yechish.
Tenglama bir jinsli differensial tenglama bo‘lganidan uni quyidagicha
yozamiz
dx
dy
x
y
x
y
2
2
.
Bunda
almashtirish kiritib, uni differensiallab
va
bularni berilgan tenglamaga qo‘yib,
z
dx
dz
x
z
z
2
yoki
ko‘rinishdagi o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilib, uning o‘zgaruvchilarini
ajratib integrallaymiz
2
dx
dz
x
z
,
bu erda
x
y
z
o‘rniga qo‘ysak,
berilgan tenglamaning umumiy echimini
xosil qilamiz.
8-misol. a)
x
e
y
y
6
18
6
chiziqli bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamaning
umumiy echimi topilsin. (Bunda
6
)
Yechish.
0
6
y
y
bir jinsli tenglamaning xarakteristik tenglamasi
2
6
0
k
k
va uning ildizlari
6
,
0
2
1
k
k
bo‘lib, umumiy echimi
x
e
C
C
y
6
2
1
ko‘rinishda
bo‘ladi. Bir jinsli bo‘lmagan tenglamada
2
6
k
b¢lgani uchun xususiy echimni
x
Ae
x
y
6
*
ko‘rinishda qidiramiz. U holda
*
y
dan birinchi va ikkinchi tartibli hosila
olib, berilgan tenglamaga qo‘ysak,
18
36
6
36
12
Ax
A
Ax
A
bo‘lib, undan
3
A
ekanligi kelib chiqadi. Bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning umumiy echimi
c
x
y
ln
2
1
1
ln
2
1
1
ln
2
1
2
2
0
2
dy
x
ydx
x
y
z
x
y
zdx
xdz
dy
0
2
xdz
dx
z
C
z
x
1
ln
C
y
x
x
ln
14
.
3
6
6
2
1
*
x
x
xe
e
C
C
y
y
y
b)
x
x
y
y
3
sin
2
3
cos
9
chiziqli bir jinsli bo‘lmagan differensial
tenglamaning umumiy echimi topilsin. (Bunda
0,
3
i
)
Yechish.
Bu tenglamani xarakteristik tenglamasi
0
9
y
y
va uning ildizlari
qo‘shma kompleks sonlar bo‘lib, ya’ni
i
k
i
k
3
,
3
2
1
va bu ildizlar tenglamaning
o‘ng tomoniga karralidir.Bunday holda bir jinsli tenglamaning umumiy echimi
x
C
x
C
y
3
sin
3
cos
2
1
bo‘ladi.
Bir
jinsli
bo‘lmagan
tenglamaning
xususiy
echiminini
esa
x
B
x
A
x
y
3
sin
3
cos
*
ko‘rinishda qidiramiz. U holda
*
y
dan birinchi va
ikkinchi tartibli hosila olamiz,
x
Bx
x
Ax
x
B
x
A
y
3
cos
3
3
sin
3
3
sin
3
cos
*
x
Bx
x
Ax
x
B
x
A
x
B
x
A
y
3
sin
9
3
cos
9
3
cos
3
3
sin
3
3
cos
3
3
sin
3
*
Ularni berilgan tenglamaga qo‘ysak,
x
x
y
y
3
sin
2
3
cos
9
dan
x
x
x
B
x
A
3
sin
2
3
cos
3
sin
6
3
cos
6
tenglikni hosil qilamiz, bu erdagi
A
va
V
o‘zgarmas sonlarni noaniq koeffitsientlar
usulidan foydalanib topamiz, ya’ni:
3
1
6
1
2
6
1
6
B
A
B
A
Bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning umumiy echimi
x
x
x
x
C
x
C
y
y
y
3
sin
3
1
3
cos
6
1
3
sin
3
cos
2
1
*
.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
