O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti kattaqo’RG’on filiali “аxborot texnologiyalari” kafedrasi

MATRISALARNING KO’PAYTMASINING RANGI. MATRISAVIY 
TENGLAMALAR 
Matrisalarni ko’paytirish bir xil tartibli kvadrat matrisalar uchun aniqlangan 
bo’lsada, uni kvadrat bo’lmagan, ya’ni to’g’ri burchakli matrisalar uchun ham 
tarqatish mumkin, chunki matrisalarni ko’paytirishda berilgan qoidaga ahamiyat 
berilganda birinchi matrisaning ustunlar soni ikkinchi matrisaning ustunlar soniga 
teng bo’lishi kifoyadir. Shunday qilib, agar bizga 
K
kommutativ halqa berilgan 
bo’lib, bu halqada berilgan 
A
va
B
matrisalarning tartiblari mos ravishda 
m s

va 
s n

tartibli matrisalar bo’lishligi talab qilinadi.
Tabiiyki, bu holda 
A
va
B
matrisalarning 
t
A
va
t
B
transponirlanganlarini 
ko’paytmasi ma’noga ega bo’lmaydi. Shunga asosan 
A B

ko’paytmani 
transponirlash mumkin, ammo 


t
t
t
A B
B
A



tenglik umuman aytganda o’rinli 
emasdir.
Misollar.

---

113 
1) 
4
2
2
1 3
11
8
2
3
1
2
4
20
24
3
5
2 3
3 2
2 2









 

















; 
2) 
0
1 2
1
5
2
3
4
1
7
3
4
1
2
5
3 3
3 1
3 1


  


  

 

  


  




  




; 
3) 




2
1
1
3
2
0 1
5
7
25
4
2
3
5
1 4
4 2
1 2








 











. 
To’g’ri to’rtburchakli matrisalarni ko’paytirish assosiativdir. Shuningdek, bu 
tipdagi matrisalar uchun bu minor va matrisaning rangi, elementar almashtirishlar 
tushunchalari qaralish mumkin emasliklari bizga ma’lum. Bizni bu tipdagi matrisalar 
uchun ko’paytuvchilarni rangi bilan ko’paytmani ranglari orasidagi bog’lanish 
qiziqtiradi. Bizga ma’lumki, xosmas kvadratik matrisalarning, ya’ni ranglari 
n
ga 
teng matrisalarning ko’paytmasi xosmas, ya’ni rangi 
n
ga teng bo’ladi. Tabiiyki, 
ko’paytuvchilarning bittasi xos matrisa bo’lsa, ko’paytma xos bo’lib, rangi 
n
ga teng 
bo’lmaydi. Masalan, quyidagi misolda 
1
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
A B


 

 



 



 

dan 
1,
1
rankA
rankB


va
0
rankA B
 
bo’lib, 
A B

rangi 
A
va
B
matrisalarni birortasini ham rangiga teng emas yoki
1
2
1
1
1 3
2
4
1 1
2
6
A B



 

 



 





 

bo’lib, 
1
rankA

, 
2
rankB

va
1
rankA B
 
bo’lib, 
rankA B
rankA
 
bo’lishligi ko’rinib turibdi.

---

114 
Quyidagi teorema bu masalaga oydinlik kiritadi:
Teorema 37.1.
Matrisalarning ko’paytmasining (kvadrat bo’lishi shart emas) 
rangi har bir ko’paytuvchining rangidan oshmaydi, ya’ni agar 
1
2
,
,...,
s
A A
A
matrisalarning ko’paytmasi ma’noga ega bo’lsa, u holda


   
 


1
2
1
2
...
min
,
,...,
s
s
r A A
A
r A
r A
r A

 

bo’ladi.
Isbot
. Teoremani isbotini ikkita matrisalar uchun to’g’riligini ko’rsatamiz, ya’ni 
bizga 
A
va
B
matrisalar berilgan bo’lsa, ularning ko’paytmasi 
A B
C
 
ma’noga 
ega bo’lsin. 
A B

matrisaning ustunlari 
A
matrisaning ustunlarining chiziqli 
kombinasiyadan iborat bo’lganligi uchun, 
A B

matrisaning rangi maksimal chiziqli 
erkli ustunlarining rangiga tengligidan, uning rangi 
A
matrisaning rangidan 
oshmaydi. Ikkinchi tomondan 
A B

matrisaning satrlari 
B
matrisaning satrlarining 
chiziqli kombinasiyalaridan iboratdir va demak 
A B

rangi 
B
ning rangidan 
oshmaydi.