|
(2)
Bu ko’paytmadan quyidagi xulosalar kelib chiqadi:
(
)
(3)
(
)
(4)
1
(5)
,
,
,
n
K
K
.
Bu xulosalardan quyidagi natijalar kelib chiqadi:
0
0
,
(6)
bu yerda
0,
n
K
va
(0, 0,..., 0)
n
o
K
va
0
0
,
(7)
bu yerda
,
n
K o
K
va
( 1)
,
n
K
.
Bundan tashqari, agar
0
bo’lsa,
0
yoki
0
bo’ladi. Kiritilgan
amallarga nisbatan
n
K
vektor to’plami
n
- o’lchamli arifmetik fazo yoki
n
-
o’lchamli fazo
vektor fazo
deyiladi. Agar
K
bo’lsa,
n
ga haqiqiy va agar
K
bo’lsa,
n
ga kompleks vektorli fazo deyiladi.
Endi bizga
1
2
,
,...,
n
n
K
vektorlardan tuzilgan vektorlar sistemasi
berilgan bo’lsin. Bu vektorlarning algebraik yig’indisi
1
1
2
2
1
,
s
i
i
s
s
i
i
K
yana
n
K
ga qarashli bo’lib, qandaydir
n
K
vektorga teng bo’ladi, ya’ni
1
s
i
i
i
.
(8)
Hosil bo’lgan
vektorga
1
2
,
,...,
s
vektorlarning chiziqli kombinasiya-sidan
iborat bo’lgan vektor deb ataladi. Aksincha,
1
2
,
,...,
s
va
vektorlar uchun
1
2
,
,...,
s
x x
x
K
1
s
i
i
i
x
(9)
bo’lsin. Agar
120
1
11
21
1
(
,
,...,
),
n
a
a
a
2
12
22
2
1
2
(
,
,...,
),...,
(
,
,...,
)
n
s
s
s
ns
a
a
a
a
a
a
va
1
2
( ,
,...,
),
,
1, ;
1,
n
ij
i
b b
b
a
K b
K
i
n j
s
bo’lsa, u holda
(9)
tenglik
11 1
12 2
1
1
21 1
22 2
2
2
1 1
2 2
,
,
................................................
s
s
s
s
n
n
ns
s
s
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
(10)
yoki
1
,
1,
s
ij
j
i
j
a x
b
i
n
bir jinsli bo’lmagan
s
noma’lumli
n
ta chiziqli tenglamar sistemasi yechimining
masalasiga, ya’ni agar tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lsa, (9) tenglamani
qanoatlantiruvchi
,
1,
i
x
i
s
lar
K
halqada mavjudligi va agarda tenglamalar
sistemasi birgalikda bo’lsa, (9) tenglik qanoatlan-tiruvchi elementlar
K
halqada
mavjud bo’lmaydi va demak biz aytamizki,
vektor
1
2
,
,...,
vektorlar
sistemasining chiziqli kombinasiyasidan iborat emas.
Endi faraz qilaylik (9) tenglikda
0
nol vektor bo’lsin, ya’ni
1
0
n
i
i
i
x
.
(11)
U holda (11) tenglik
1
0
n
ij i
j
a x
(12)
bir jinsli tenglamalar sistemasiga teng kuchli bo’ladi. Bir jinsli tenglamalar sistemasi
hama vaqt birgalikda va u agar birgalikda aniq bo’lsa, ya’ni aynan nol yechimga ega
bo’lsa, (11) tenglik
0,
1,
i
x
i
s
bo’lganda o’rinli va agar (12) tenglamalar
sistemasibirgalikda aniqmas bo’lsa, ya’ni uning nollardan boshqa nol bo’lmagan
yechimlari ham mavjud bo’lib, bu yechimlar uchun (11) tenglik o’rinli bo’ladi.
n
K
arifmetik fazoda vektorlar orasidagi chiziqli munosibatlarni o’rganish
muhim ahamiyatga egadir.
121
TA’RIF 9.1.
1
2
,
,...,
n
s
R
vektorlar sistemasiga chiziqli bog’lanmagan
(erkli) vektorlar sistemasi deyiladi, agar (11) tenglik
,
1,
i
x i
s
lar aynan
0
0,
1,
i
x
i
s
bo’lganda o’rinli bo’lsa, agarda (11) tenglik
0
,
1,
i
i
x
K i
s
larning kamida bittasi noldan farqli bo’lgan
,
1,
i
i
s
uchun o’rinli bo’lsa, u holda
birinchi vektorlar sistemasiga ziziqli bog’langan (erksiz) vektorlar sistemasi deyiladi.
Shuni ta’kidlaymizki
0
vektor chiziqli erkli bo’ladi, chunki
0
dan
0
bo’ladi.
Bizga endi
P
maydonda
n
P
arifmetik fazo berilgan bo’lsin. U holda quyidagi
teorema o’rinli.
TEOREMA 9.2.
Agar
1
2
,
,...,
n
P
vektorla sistemasi chiziqli
bog’langan bo’lsa, u holda vektorlar sistemasining bizlar bir vektor qolganlarining
chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi.
Isbot
. Faraz qilaylik
1 1
2
2
0
r
r
s
s
Tenglik
0
r
da o’rinli bo’lsin. U holda
1
1
2
2
r
r
s
s
bo’lib, bundan
1
2
1
2
s
r
s
r
r
r
tenglik hosil bo’ladi va demak
r
vekior vektorlar sistemasidagi qolgan vektorlarning
chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi.
Bu teoremadan quyidagi natijani olamiz:
NATIJA 9.3.
Agar
1
2
,
,...,
s
vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’lsa, u
holda vektorlar sistemasidagi birontasi ham vektor qolganlarini chiziqli
kombinasiyalaridan iborat bo’ladi.
Bu muhim tushunchani boshqa formasini ko’rsatishimiz mumkin, ya’ni agar
1
2
,
,...,
s
vektorlar sistemasi biror vektor qolganlarini chiziqli kombinasiyasidan
iborat bo’lsa, u holda bergar vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’ladi. Haqiqatdan,
agar masalan
1
qolgan vektorlarni chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’lsa, ya’ni
1
2
2
2
2
s
s
tenglik qandaydir
i
lar uchun o’rinli bo’lsa, u holda
2
2
2
2
0
s
s
tenglik
1
i
noldan farqli element o’rinli va demak berilgan vektorlar sistemasi
chizivli bog’langan.
122
Keltirilgan ta’rif va tasdiqlardan biz quyidagilarni aytib o’tamiz: noldan farqli
har qanday vektor chiziqli, nol vektorni o’zi chiziqli bog’langan va umuman vektorlar
sistemasida hyech bo’lmaganda bita vektor nol vektor bo’lsa, sistema chiziqli
bog’langan va agarda ikkita
va
vektorlar proporsional bo’lsa, ya’ni
P
dan
tenglik o’rinli bo’lsa
va
vektorlar chiziqli bog’langan va umuman
vektorlarsistemasida qandaydir ikkita vektorlari proporsional bo’lsa, vektorlar
sistemasi chiziqli bog’langan. Shuni ta’kidlaymizki vektorlarning proporsionalligi
chiziqli kombinasiya tushunchasini xususiy holidir.
Bundan tashqari agar vektorlar sistemasining biror qism vektorlar sistemasi
chiziqli bog’langan bo’lsa, u holda vektorlar sistemasining o’zi ham chiziqli bladi
(tekshiring!) va aksincha vektorlar sistemasi erkli bo’lsa, u holda uning istalgan qism
vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’ladi. Umuman, agar vektorlar sistemasining
istalgan qism vektor sistemasi chiziqli erkli bo’lsa, u holda shu vektorlar sistema ham
chiziqli erkli bo’ladi.
Endi quyidagi teoremani keltiramiz:
TEOREMA 9.4.
Agar
1
2
,
,...,
s
sistemasi chiziqli erkli bo’lib, qandaydir
noldan farqli
vektor uchun
1
2
,
,
,...,
s
vektorlar chiziqli bog’langan bo’lsa,
u holda
vektor yagona ravishda
1
2
,
,...,
s
vektorlarsistemasini chiziqli
kombinasiyasidan iborat bo’ladi.
Bu teoremani isbotini o’quvchining ixtiyoriga havola qilamiz.
Endi bizga ort deb ataluvchi
1
2
(1, 0,..., 0);
(0,1,..., 0);...,
(0, 0,...,1)
n
n
e
e
e
P
vektorlar sistemasi berilgan bo’lsin. U holda bu vektorlar chiziqli bog’lanmagan,
chunki
1 1
2 2
1
2
1
2
0
( ,
)
0
0,
0,...,
0
n n
n
n
e
e
e
bo’ladi va
n
P
uchun
1
2
, ,
,...,
(
1)
n
e e
e
n
ta vektorlar sistemasi chiziqli
bog’langandir, chunki
1
2
( ,
,...,
)
n
a a
a
vektor uchun
1 1
2 2
,
,...,
n n
a e a e
a e
tenglik o’rinlidir.
Bu keltirilgan misolga qarib biz umuman
1
2
,
,...,
s
vektorlar sistemasining
soni
s
n
bo’lsa, ular chiziqli bog’langan bo’ladi deb ayta olamiz.
123
O’z navbatida keltirilgan misol va undan kelib chiqqan xulosaga qarab, biz
n
P
arifmetik fazoda eng ko’pi bilan
n
ta vektorlar sistemasi chiziqli erkli ekanligini va
bunga asosan
n
P
ga
n
o’lchamli fazo o’rniga t o’lchovli fazo ham deb ataymiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |
