O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti kattaqo’RG’on filiali “аxborot texnologiyalari” kafedrasi

7.3.14-tеоrеmа. 
Kvаdrаt mаtritsаlаr ko’pаytmаsining dеtеrminаnti bеrilgаn 
mаtritsаlаr dеtеrminаntlаri ko’pаytmаsigа tеng. 
Faqatgina nomdosh matrisalarni qo’shish va ayirish mumkin. 
P
sonlar maydoni ustida 
qurilgan ikkita nomdosh matrisalar berilgan bo’lsin.


























mn
m
m
n
n
mn
m
m
n
n
b
b
b
b
b
b
b
b
b
B
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
.
...
.
.
...
...
,
...
.
...
.
.
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
2
1
2
22
21
1
12
11
B
A

matrisa quyidagicha aniqlanadi; 

---

96 























mn
mn
m
m
m
m
n
n
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
B
A
...
.
...
.
.
...
...
2
2
1
1
2
2
22
22
21
21
1
1
12
12
11
11
Matrisalarni qo’shish kommutativ va assosiativ 
A+B=B+A, (A+B)+C=A+(B+C).
Hamma elementlari nollardan iborat matrisa 
nol matrisa
deyiladi va u 0 orqali 
belgilanadi.
Matrisani songa ko’paytirish, uning hamma elementlarini shu songa ko’paytirish 
orqali aniqlanadi; 













mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A










...
.
...
.
.
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
. 
1



bo’lganda hosil bo’lgan 
–A
matrisa berilgan matrisaga qarama-qarshi matrisa 
deyiladi.
Natija.
Nomdosh matrisalar to’plami additiv gruppa bo’ladi. 
Faqatgina 
n
m

tartibli matrisani 
k
n

tartibli matrisaga ko’paytirish mumkin, 
boshqacha aytganda birinchi matrisa ustunlari soni ikkinchi matrisa satrlari soniga 
teng bo’lsa bunday matrisalarni ko’paytirish mumkin, u holda, 
n
m

tartibli matrisa 
hosil bo’ladi. 
Matrisalarni ko’paytirish satrni ustunga vektorlarni skalyar ko’paytirish amali 
yordamida bajariladi. Hususiy holda, kvadrat matrisalarni ko’paytirish ularning turlari 
bir xilda bo’lishi lozim. Ikkitadan ortiq matrisalarni ham ko’paytirish mumkin; 
k
m
p
k
k
m
p
k
k
n
n
m
X
C
D
C
B
A











)
(
Teorema.
 Uchta A,B,C matrisalar uchun AB ba BC ko’paytmalar aniqlangan 
bo’lsa, u holda (AB)C=A(BC) tenglik bajariladi. 

---

97 
Isboti.
A,B,C 
matrisalar mos ravishda 
(m,n), (n,k), (k,p) 
turli matrisalar bo’lsin. 
U holda bu matrisalarni ko’paytirish mumkin va 
(AB)C 
va 
A(BC)
matrisalarning har 
ikkalasi ham 
(m,k)
turli matrisa bo’ladi. 
Endi 
(AB)C=A(BC) 
tenglikning bajarilishini, ya’ni 
(AB)
C va A
(BC)
matrisalarning umumiy
ij
u
va 
ij
v
elementlarning o’zaro tengligini isbotlaymiz. 
Haqiqatdan, 
AB
ning umumiy elementi






n
i
i
i
k
m
i
b
a
d
1
)
,
1
,
,
1
(




(1) 
va 
BC
ning umumiy elementi





k
j
i
ij
p
j
c
b
d
1
)
,
1
(



(2) 
bo’ladi. (1) va (2) larga ko’ra, 
(AB)
C va A
(BC)
larning umumiy elementlari mos 
ravishda








k
k
n
j
i
j
i
ij
c
b
a
c
b
u
1
1
1
,
















n
k
n
j
i
j
i
ij
c
b
a
d
a
v
1
1
1
,








bo’ladi. Demak, 
(AB)C=A(BC). 
Natija. 
Turlari bir xil bo’lgan kvadrat matrisalar to’plami ko’paytirish amaliga 
nisbatan yarim gruppa bo’ladi. 
Matrisalarni ko’paytirish kommutativ emas, ya’ni 
BA
AB

.
n
-tartibli kvadrat matrisaning bosh diagonali elementlari 1 lardan va qolgan hamma 
elementlari 0 lardan iborat ushbu 












1
...
0
0
.
...
.
.
0
...
1
0
0
...
0
1
ko’rinishidagi matrisa 
birlik matrisa 
deyiladi va u 
E
orqali belgilanadi. 

---

98 
n
-tartibli istalgan 
A
kvadrat matrisa uchun 
AE=EA=A
ekanligi ma’lum.
Ta’rif.
Birlik matrisadan elementar almashtirishlar natijasida hosil bo’lgan 
matrisa 
elementar matrisa
deyiladi. 
A
matrisaning satrlari 
m
ta 
n
o’lchovli gorizontal 
)
....,
,
,
(
1
12
11
1
n
a
a
a
a


)
....,
,
,
(
2
22
21
2
n
a
a
a
a


(3) 
……………….. 
)
....,
,
,
(
2
1
mn
m
m
m
a
a
a
a


vektorlardan, ustunlari esa 
n
ta 
m
o’lchovli vertikal
)
....,
,
,
(
1
21
11
1
m
a
a
a
a


)
....,
,
,
(
2
22
12
2
m
a
a
a
a


(4) 
………………….. 
)
....,
,
,
(
2
1
mn
n
n
n
a
a
a
a


vektorlardan iborat bo’ladi. 
Matrisa rangi.
Ta’rif:
Gorizontal vektorlar sistemasining rangi matrisaning 
satrlari rangi
, vertikal 
vektorlar sistemasining rangi matrisaning 
ustuniy rangi
deb ataladi.
Matrisa rangini aniqlash uchun matrisada elementar almashtirishlar tushunchasi 
muhim ahamiyat kasb etadi. 
Ta’rif:
Matrisada elementar almashtirishlar
deb quyidagi almashtirishlarga aytiladi: 
1) ikkita satr (ustun) ning o’rinlarini almashtirish; 
2) satr (ustun) elementlarini noldan farqli songa ko’paytirish; 
3) satr (ustun) elementlarini noldan farqli istalgan songa ko’paytirib, boshqa satr 
(ustun) ning mos elementlariga qo’shish; 

---

99 
4) barcha elementlari nollardan iborat bo’lgan satr ( ustun) ni matrisadan tashlab 
yuborish. 
Teorema.__Elementar_almashtirishlar_matrisa_rangini_o’zgartirmaydi.__Isboti.'>Teorema.
 Elementar almashtirishlar matrisa rangini o’zgartirmaydi.
Isboti.
Elementar almashtirishlarni satrlarga tadbiq qilamiz. 
1) Matrisaning ixtiyoriy ikkita satrning o’rinlarini almashtirish (3) vektorlar 
sistemasidagi ikkita vektorning o’rinlarini almashtirishga mos, shuning uchun, (4) 
ning rangi o’zgarmaydi; 
2) matrisaning ixtiyoriy bitta satrini noldan farqli songa ko’paytirish, (3) ning bitta 
vektorini shu songa ko’paytirishga mos keladi, bu esa (3) ning rangini o’zgartirmaydi; 
3) matrisaning 
j-
satrini 
α
ga ko’paytirib, 
i-
satriga qo’shish, 
m
j
i
a
a
a
a
a





,...,
,...,
,...,
,
2
1
(5) 
sistemadagi
j
a

vektorni 
α
ga ko’paytirib, 
i
a

vektorga qo’shishdan iborat. U holda, 
m
j
j
i
a
a
a
a
a
a






,...,
),...,
(
,...,
,
2
1


(6) 
sistema hosil bo’ladi. (6) ning 
j
i
a
a




dan boshqa ixtiyoriy vektori (3) orqali 
quyidagicha ifodalanadi: 
m
k
k
a
a
a
a
a














0
...
1
...
0
0
2
1
j
i
a
a




vektor (3) sistema orqali quyidagicha chiziqli ifodalanadi: 
m
j
i
j
i
a
a
a
a
a
a


















0
...
...
1
...
0
1


. 
Aksincha, (5) vektorlar sistema (6) sistema orqali esa, 
m
k
k
a
a
a
a
a














0
...
1
...
0
0
2
1
; 
m
j
j
i
i
a
a
a
a
a
a


















0
...
...
)
(
1
...
0
1


chiziqli ifodalanadi. U holda, (5) va (6) sistemalar ekvivalent bo’ladi. Bizga ma’lumki, 
ekvivalent vektorlar sistemasining ranglari teng bo’ladi. 
Teorema.
 Matrisaning satriy va ustuniy ranglari teng.
 
 
Isboti.

---

100 













mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
.....
...
.....
...
...
.....
.....
2
1
2
22
21
1
12
11
matrisa berilgan bo’lsin. Matrisaning n o’lchovli gorizontal vektorlari va m o’lchovli 
vertikal vektorlari 
m
r
a
a
a
a




,...,
,...,
,
2
1
(7) 
n
s
a
a
a
a




,...,
,...,
,
2
1
(8) 
(7) sistemaning satriy rangini aniqlovchi chiziqli erkli vektorlarini 
r
a
a
a



,...,
,
2
1
(9) 
ko’rinishida, (6) sistemaning ustunli rangini aniqlovchi chiziqli erkli vektorlarini
s
a
a
a



,...,
,
2
1
(10) 
ko’rinishida olamiz. Endi 
r=s
ekanligini ko’rsatishimiz lozim. 
s
r

deb faraz qilaylik. 
(9) vektorlar 
)
,...,
...,
,
,
(
2
1
in
is
i
i
i
a
a
a
a
a


va (10) vektorlar 
)
.,
...,
,
,
(
2
1
mj
ij
j
j
j
a
a
a
a
a


ko’rinishiga ega. (9) vektorlarning birinchi 
s
ta koordinatalaridan foydalanib, quyidagi 
s
ta noma’lumli 
r
ta bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasini tuzamiz: 
).
,
1
(
0
...
2
2
1
1
r
i
x
a
x
a
x
a
s
is
i
i





s
r

ga ko’ra, bu sistema 


s



,....,
,
2
1
ko’rinishidagi nolmas yechimga ega. Demak, 
)
,
1
(
0
...
2
2
1
1
r
i
a
a
a
s
is
i
i








(11) 
tengliklar o’rinli.


s



,....,
,
2
1
yechim 
)
,
1
(
0
...
2
2
1
1
m
r
k
x
a
x
a
x
a
s
ks
k
k






sistemani ham qanoatlantiradi. Haqiqatdan, 
m
r
r
a
a
a



,...,
,
2
1


gorizontal vektorlarning har 
qaysisi (9) sistema orqali chiziqli ifodalanishi 
rn
rk
n
k
r
rk
k
k
r
rk
k
k
ik
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

















...
,
...
,
...
(
)
...,
,
,
(
1
1
2
22
2
12
1
1
21
2
11
1
2
1
 
kelib chiqadi. Demak, vektorlarning tengligiga asosan, 

---

101 
1
21
2
11
1
1
...
r
rk
k
k
k
a
a
a
a







2
22
2
12
1
2
...
r
rk
k
k
k
a
a
a
a







……………………………. 
rs
rk
s
k
s
k
ks
a
a
a
a







...
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
...








rs
rk
k
s
k
ks
a
a
a
a



………………………………. 
rn
rk
n
k
n
k
kn
a
a
a
a







...
2
2
1
1
bo’ladi. bunda 
)
,
1
(
m
r
k


. Bu tengliklarning birinchi 
s
tasini ( 
s=n
bo’lgan holda, 
hammasini) mos ravishda 
s



,....,
,
2
1
largako’paytirib, natijalarni hadlab qo’shsak, 
(11) ga ko’ra, quyidagini hosil qilamiz: 
)
12
(
0
0
....
0
0
)
...
(
.....
)
...
(
)
...
(
...
2
1
2
2
1
1
2
2
22
1
21
2
1
2
12
1
11
1
2
2
1
1

























rk
k
k
s
rs
r
r
rk
s
s
k
s
s
k
s
ks
k
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a


















(11) va (12) tengliklar (10) sistemaning chiziqli bog’langanligini ko’rsatadi. 
Haqiqatdan, (11) va (12) larga ko’ra quyidagiga ega bo’lamiz: 
0
)
...
...
;
...
;
...
(
)
,....,
;
(
...
)
,....,
;
(
)
,....,
;
(
...
2
2
1
1
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1
2
2
1
1






















s
rs
r
r
s
s
s
s
ms
s
s
s
m
m
s
s
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a


















Ammo, bu (8) ning chiziqli erkliligiga ziddir. Shu sababli,
s
r

bo’lishi mumkin 
emas. Demak, 
s
r

. Endi 
s
r

holni ham huddi shuningdek, 
s
r

ekanligini 
aniqlaymiz. U holda, 
r=s
bo’ladi. 
Pag’onali matrisa 
Ta’rif:
Nolmas satrlarga 
A
matrisada har qanday 
k
- nolmas satrining birinchi nolmas 
elementi 
(k-1)
- nolmas satrining birinchi nolmas elementidan o’ngda tursa, u holda 
A 
pog’onali matrisa
deyiladi. 
Masalan:

---

102 













4
3
2
0
0
1
0
4
0
0
5
3
2
0
1
A
,



















2
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
5
1
9
0
0
0
0
0
0
2
0
0
7
0
3
18
1
0
B
matrisalar pog’onali matrisalardir. 
Matrisaning rangini topish uchun berilgan matrisa elementar almashtirishlar 
yordamida pog’onali matrisaga keltiriladi hamda pag’onali matrisaning rangi berilgan 
matrisaning rangiga teng bo’ladi.