|
n
ta bo’ladi. Bundan biz
n
S
simmetrik
(o’rniga qo’yishlar) gruppasi tartibi
!
n
cardS
n
bo’lishligini, ya’ni chekli tartibli
gruppa
ekanligiga
kelamiz
yoki
1
2
,
,...,
n
invf
inv
va
1
2
,
,...,
n
signf
sign
ekanligini eslatib o’tamiz. Bundan tashqari tuzilgan
sxemaga qarab akslantirishlarning kompozisiyasini quyidagicha tasvirlaymiz:
Agar
:
f
A
A
va
:
g A
A
bo’lsa, u holda ularning
:
g
f
A
A
kompozisiya quyidagicha sxema ko’rinishda ifodalanadi:
1
2
: 1 2 ...
f
f
f n
f
n
1
2
: 1
2
...
g f
g f
g f n
g
n
va demak
1
2
: 1
2
...
g f
g f
g f n
g
f
n
Shunday qilib, bu sxemadan
1
2
1
2
...
...
1
2
...
...
1
2
1
2
...
1
2
...
f
f
f n
n
f
f
f n
g f
g f
g f n
n
g
f
g f
g f
g f n
hosil bo’ladi.
Misol.
4
n
da
1
2
3
4
2 1
4
3
f
va
1
2
3
4
4
3
2 1
g
o’rin
almashtirishlarning ko’paytmasini sxematik ko’rinishi
86
2
1
3
4
3
4
2
1
:1 2 3 4
g
f
bo’lib,
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
4
3
2 1
2 1
4
3
3
4 1
2
g
f
bo’ladi.
n
S
gruppada
A
e
birlik akslantirish yoki birlik o’rniga qo’yishni ko’rinishi:
1 2 ...
1 2 ...
A
n
e
n
bo’ladi va
n
f
S
akslantirishga teskari
1
f
akslantirish yoki o’rniga qo’yish
1
2
1
...
...
1
2
n
f
n
shaklda bo’ladi. Tekshirib ko’rish mumkinki,
1
1
1 2 ...
1 2 ...
A
n
f
f
f
f
e
n
dan iboratdir. Shuni ta’kidlaymizki,
1
2
: 1 2 ...
f
f
f n
f
n
liklarni qaysi tartibda yozilish sxemasiga ega emas, shuning uchun
1
f
o’rniga
qo’yishning ustunlari bo’yicha shunday joylashtiramizki, uni birinchi satrida
tartiblangan
1, 2,...,
n
o’rin almashtirish joylashtiriladi.
Masalan,
1
2 1
4
3
1
2
3
4
1
2
3
4
2 1
4
3
f
deb olish mumkin.
Shuni ta’qidlaymizki,
n
S
simmetrik gruppa chekli gruppalarni o’rganishda
muhim bir ahamiyatga ega bo’lib, uni o’rganish chekli gruppalarni o’rganishga olib
keladi. Shuning uchun qiziquvchi o’quvchilarga Algebra va sonlar nazariyasi
bo’yicha yozilgan adabiyotlardan
n
S
gruppaning batafsil bayoni bilan tanishib
chiqishni tavsiya qilamiz.
87
11-ma`ruza mashg`uloti
Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar. Laplas teoremasi
Matritsa va uning xossalari. Matritsalar ustida amallar.
Matrisa rangi. Matrisa rangi haqidagi asosiy teorema.
Reja
1.
Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar.
2.
Laplas teoremasi
3.
Matritsaning xossalari.
4.
Matrisalar ustida amallar.
5.
Elementar matrisalar va ularning xossalari.
6.
Matrisa rangi
7.
Matrisa rangi haqidagi asosiy teorema
Ushbu ma’ruzada biz determinantlarni hisoblashda muhim vositachi vazifasini
bajaruvchi determinantlarni tartibini pasaytirib hisoblash metodi bo’lib, unda bosh
rolni minor va algebraik to’ldiruvchi tushunchalari o’ynaydi.
Biz
K
kommutativ halqada (bu yerda biz
K
halqa sifatida,
, , ,
sonli
butun halqa va sonli maydonlar deb bilamiz va agar bizga kiritilaytgan tushunchalar
va ularni xossalarini tasvirlashda biror-bir holat yuz bermasa, xarakteristikasi nol yoki
nol bo’lmagan maydonlar deb ham qarashimiz mumkin).
n
nchi tartibli kvadratik
1
1
1
1
11
12
2
2
1
2
21
22
1
2
1
1,1
1,2
1,
1,
1
1,
1
2
1
...
...
...
...
...
...
... ...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
k
k
n
k
k
n
k
k
kk
kk
kn
k
k
k
k
k
k
k
n
n
n
nn
nk
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
88
matrisa berilgan bo’lsin. Bu matrisani ixtiyoriy
k
ta satr va
k
ustunlarining kesishgan
(o’chirilgan) joylaridan
k
-nchi tartibli determinant tuzib olamiz. Hosil bo’lgan
determinantga
A
determinantning
k
-nchi tartibli minori deyiladi.
Xususan, determinantda bitta satr va bitta ustunni (
1
k
) kesishgan joyida bitta
element bo’ladi, ya’ni determinantning elementlari ham minorlar bo’lishi mumkin.
O’chirilmay qolgan elementlaridan tuzilgan determinant
n
k
tartibli determinant
bo’lib, unga minorning to’ldiruvchi minori deyiladi. Minor va to’ldiruvchi minorlarni
qulaylik uchun
M
va
M
lar bilan belgilab olamiz. Shuni ta’kidlaymizki,
M
va
M
determinantlar bir-birini o’zaro to’ldiruvchi minorlar juftligi deb ham ataladi.
Xususan, determinantning
i
nchi satr va
j
nchi ustunini kesishmasida turgan
ij
a
element birinchi tartibli va uning o’chirilmay qolgan elementlaridan tuzilgan
to’ldiruvchi minor
1
n
tartibli minor bo’lib, ular birgalikda o’zaro to’ldiruvchi
minorlar juftini tashkil qiladi.
Agar
k
tartibli
M
minor
1
2
, ,...,
k
i i
i
satr va
1
2
,
,...,
k
j j
j
ustunlarining
kesishmasidan tuzilgan bo’lsa, u holda
1
M
S
A
M
,
(2)
bu yerda
1
2
1
2
...
...
M
k
k
S
i
i
i
j
j
j
M
minorning algebraik
to’ldiruvchi deyiladi.
Matrisaning bosh diagonalida joylashgan
1
11
11
12
11
21
22
1
...
,
, ..., ...
... ...
...
k
k
kk
a
a
a
a
a
a
a
a
a
va hokazolar, xususan
A
ning o’ziga bosh minorlar deb ataladi.
Endi
k
nchi tartibli bosh minorni o’z algebraik to’ldiruvchisiga
ko’paytmasini qaraymiz:
1
1
M
M
S
S
M A
M
M
M M
.
U holda
1 2 ...
1 2 ...
2 1 2 ...
M
S
k
k
k
juft son bo’ladi va demak
M A
M M
bo’ladi.
M
minorning ixtiyoriy hadi
,
1
2
1
2
...
k
k
sign a
a
a
89
unga oid o’rniga qo’yish
1
2
1
2
...
...
k
k
bo’lib,
1
inv
sign
bo’lsin. Xuddi shunday
M
minorning ixtiyoriy hadi
1
2
1,
2,
...
k
k
n
k
k
n
sign
a
a
a
bo’lib,
1
inv
sign
va bu
1
2
1
2 ...
...
k
k
n
k
k
n
o’rniga qo’yishning signaturasi bo’lsin.
Hosil bo’lgan ko’paytmalarni ko’paytmasi
bo’lib, bu ko’paytma determinantning turli satr va ustunlaridan bittadan olingan
n
ta
elementlarning ko’paytmasidan iborat va
n
-nchi tartibli determinantning hadi
bo’ladi. Endi bu ko’paytmaning ishorasi
sign
sign
, xuddi shu ishoraga
n
nchi
tartibli determinant ham ega bo’lishligini ko’rsatamiz.
Haqiqatan ham, bu hadning indekslaridan tuzilgan
2
1
2
2
1
2
...
...
...
...
k
k
n
k
k
n
o’rniga qo’yishning faqat
inv
inv
ta inversiyasi bor, chunki hyech qaysi
i
hyech bir
j
bilan inversiya tuza olmaydi, ya’ni barcha
i
lar
k
dan katta emas,
barcha
j
lar
1
k
dan kichik emas.
Shunday qilib, bu quyidagi lemmani isbot qildik:
Do'stlaringiz bilan baham: |
