O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti raqamli texnalogiya fakulteti

1.2-§. Grin formulalari va Garmonik funksiyalarning integral munosabatlari

Garmonik funksiyalarning xossalarini o„rganish uchun avvalo ularning integral munosabatlarini qarab chiqamiz. Bu integral munosabatlarini keltirish uchun esa. Grin formulalaridan foydalanishga to„g‟ri keladi. Grin formulalarining o„zlari esa Ostogradskiy formulasining xususiy hollaridan iboratdir. Ostogradskiy
formulasining ma‟nosi esa quyidagichadir. 6

Faraz qilaylik
P,Q, R
funksiyalar
S  T yopiq sohada o„zining bir tartibli

hosilalari bilan uzluksiz funksiyalardan iborat bo„lsin. Agarda sirtda o„tkazilgan

tashqi normal n ni
Ox,Oy,Oz
o„qlar bilan tashkil etgan burchaklari mos holda

  (n, x);
  (n, y);
  (n, z)

lardan iborat bo„lsin. Bu holda Ostogradskiy formulasi quyidagicha edi.

^P _ Q _ R ^ _{ }
(P cos  Q cos   R cos )ds
(1.2.1)




^{T } x y z ^d
_S

Bu tenglikning chap tomonidagi qavs ichidagi ifoda:

_
a(x, y, z)  iP  jQ  kR

ko„rinishdagi vektorlar maydonining yo„nalishi yoki divergensiyasini bildiradi.

_ _ _P
Q R

div a  div(iP  jQ  k R)  _x  _y  _z

skalyardan iborat.

_
n  i cos  j cos   k cos 

Bularni hisobga olganda (1) tenglikning o„ng tomonidagi qavs ichidagi ifoda

_ _
(a, n)  (iP  jQ  kR; i cos  j cos   k cos  ) 
 P cos  Q cos   R cos   a_n

Shu ko„rinishda (1.2.1) ning ko„rinishi quyidagicha bo„ladi.

T
_ divad  _S
a_nd
(1.2.2)

Endi keltirilgan formulalardan foydalanib Grin formulasini hosil qilamiz. Buning uchun faraz qilaylik: S sirt bilan chegaralangan T sohada

^{u  u(x, y, z)}


v  v(x, y, z) ^

Funksiyalar o„zlarining argumentlari bo„yicha ikkinchi tartibgacha differensiallanuvchi funksiyalardan iborat bo„lsin. Quyidagicha belgilashlar kiritamiz:


P  u ^{v }


x
v

Q  u



y ^
(1.2.3)

 ^z
Z  u ^{v }


(1.2.3) ni (1.2.1) ga qo„yamiz.

^u v _ ²v u v ²v u v ²v <sup>


 </sup>x x ^u x^{2 } y y ^{ u} y^{2 } z z ^{ u} z^{2 d }
T ^{ 
v} cos  ^v cos   ^v coz ^  d u ^v ds.

^{ }x y
_{z }ds
 ^_

_S  
^S  n

^{u u} cos  ^u cos   ^u cos  ^ / S



n


_ _ ^S _x



T
y


nVd _
S
z ^



_
u ^ud
 n


u  gradu  i ^u  j ^u  k ^{u }
x y z ^

v  gradv  i ^v
x

• 
  _j v
  

y
_{ k} v _
z ^_

_{(u, v) } u v _ u v _ u v

x x y y z z

Demak quyidagi masalaga kelamiz.



T
uvd _
S
u ^v d 

_
 n

T
(u, v)d
(1.2.4)

(1.2.4) dagi u va v larning o„rinlarini almashtirib, quyidagilarga kelamiz.



vud 
_S
v ^ud 

_
 n
_T
(u,v)d
(1.2.5)

(1.2.4) va (1.2.5) ga Grinning birinchi formulasi deb yuritiladi. Endi (1.2.4) va (1.2.5) larni mos ravishda ayirib quyidagiga kelamiz:



(uv  vu)d  _
_u ^v _{ v} ^v _d
(1.2.6)

T S ^_{ n}
n ^_

Bunga Grinning ikkinchi formulasi deyiladi. Agarda bu keltirilgan formulalarda qatnashayotgan funksiyalar

^{u  u(x, y)}


v  v(x, y) ^

ko„rinishda bo„lsa, u holda (1.2.4) va (1.2.5) hamda (1.2.6) ning ko„rinishi quyidagicha bo„ladi.

uvds  u ^v dc 

(u,v)dS

(1.2.7)

_S
¹ _C ^_

1
 n
1 _S 1

vIds  v ^v dc 
(v,n)dS
(1.2.8)

_S
¹ _C ^_

1
 n
1 _S 1

_ uv  vuds₁ _
 _{ } 

v _ v_v
u _{_} dS₁

(1.2.9)

^{S C1} _ n


^_ ²u ²n v

^{ n }


u u

 n


_ u  _x2  _y2 ; _{_}
^ u
 _x cos  _y cos 
u


^u  gradu  i
_ x

• 
  j _y
  

Ya‟ni keltirilgan (1.2.4), (1.2.5) va (1.2.6) formulalar tekislik uchun Grin formulalaridan iboratdir. Endi shu funksiyaning ba‟zi integral munosabatlarini hosil qilish masalasini qaraymiz.

Endi quyidagi formuladan foydalanib, 3



uv  vud  _
_u ^v _{ v} ^v _ds
(1.2.10)

T S ^_{ n}
n ^_

Garmonik funksiyalarning qaralayotgan soha ichidagi ixtiyoriy nuqtadagi qiymatlarini integral orqali ifodalash mumkinligini qaraymiz. Buning uchun esa faraz qilaylik (1.2.10) tenglamada qatnashayotgan u  u(M ) funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin. Ya‟ni bu funksiya T  S yopiq sohada o„zining birinchi tartibli hosilasi bilan birgalikda uzluksiz hamda T sohaning ichida barcha argumentlari bo„yicha ikkinchi tartibgacha differensiallanuvchi garmonik funksiyadan iborat bo„lsin.

Bu formulalar ham garmonik funksiyalarning tekislik uchun integral munosabatlarni bildiradi.

1.3-§. Doira uchun Dirixlening ichki va tashqi masalalari. Puasson integrali.

_ ²u ²u

Endi
u  _x2  _y2  0
Lappas tenglamasi uchun Dirixle masalasini qarab

chiqamiz. 4
MASALA: R radiusli doirada (ichkarida yoki tashqarida) shunday bir

yo„qotadi. Bu holda Puasson integralini hosil qilishdagi qatorlarini yig‟indisi yopiq sohada uzluksizdir. Shu sababli quyidagiga ega bo„lamiz.

lim u( p,)  u(R,)  F() p  R
mak, doira uchun qo„yilgan Dirixle ichki masalasining yechimi quyidagidan iborat bo„ladi.

_{ 1} 2
R²  P²d



0
u( p,)  ^2 ^{ f ( )} R²  p²  2 pR cos   ^,
p  R,


^ f (),
p  R
bo'lsa

Xuddi shuningdek doira uchun qo„yilgan Dirixle tashqi masalasining yechimi quyidagidan iborat.

 ^{f (),}
agar
p  R bo'lsa


u( p,)  ^ ₁ ^2


f ( )
R²  P²d

, p  R,



0
^2 ^
R²  p²  2 pR cos   

Quyidagi masalaning yechimini toping

_ 1  ^ u ²u 1 ^

^{u } p p ^{ p} p ^  ²
 0_



_p2
_

u(0,)  chekli
u(R,)  cos u 



f () ^

u(r,  2 )  u( p,) ^_
Bu masalaning yechimi quyidagidan iborat.

_{ 1} 2 x
R²  P²d



0
u( p,)  ^2 ^cos R²  p²  2 pR cos   ^,
p  R


^cos,
agar,
p  R
bo'lsa

_{ 1} 2 x
R²  P²d



0
u( p,)  ^2 ^cos R²  p²  2 pR cos   ^,
p  R


^cos,
agar,
p  R
bo'lsa