O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti raqamli texnalogiya fakulteti

1-Lemma:

u  u(x, y, z) 



1
(x  x₀
1

0
)²  ( y  y

)²  (z  z)^{2 } r

0 0
r  (x  x )²  ( y  y )²  (z  z)²

Funksiya uch o„lchovli fazodagi M ₀ va M nuqtalar orasida masofani

bildiradi. Funksiya uch o„lchovli fazodagi
M₀  (x₀ , y₀ , z₀ )
nuqtalardan tashqari

barcha nuqtalarda garmonik funksiyadan iboratdir. Ya‟ni

(1/ r)  ² (1/ r)x²  ² (1/ r)y²  ² (1/ r)z²  0

Shu sababli deyiladi.
u(x, y, z) 1/ r
funksiyaga Laplas tenglamasining fundamental yechimi

Isbot: Haqiqatan
M ₀  M
bo„lganligi sababli

r  (x  x )²  ( y  y )²  (z  z)²
0 0

dan tenglik xossalarini hisoblasak quyidagilarga kelamiz.

r / x  (x  x₀ ) / r,
r / y( y  y₀ ) / r,
r / z  (z  z₀ ) / r

Endi
u 1/ r
funksiyadan tegishli xossalarni hisoblaymiz.


 ¹ 
 _r 
 ¹ 


^ r ^{ r}

1 x  x

x  x

  _   _

_{  } 0 _ 0

x


 ¹ 
 _r 
r


x  x
x r ²


 ¹ 
 _r 
r


y  y
_r 2


 ¹ 
 _r 
z  z

^{ } _ 0 _;
^{ } _ 0 _;
^{ } _ 0 _;

y r³
y r³
z r³

_2
 ¹ 
 _r 
^  ¹ ^


_{ }  _r _


^  ^{x  x} 


0

  _
x²
x ^


_
^{ }  
x _
_
x ^_{
r } 

_{3 2} r

r³  3(x  x )r ^{2 x  x0 }

r  (x  x₀ )3r
₀  _r 
1 3(x  x )²

_ x
_r6
_   _{ 
r}6 _r3
_ 0
_r5

Xuddi shuningdek, quyidagilarga kelamiz.

_2  ¹ 

 _r 
1 3( y  y )²


y^2
  
_r 3
_ 0
_r 5

_2
 ¹ 
 _r 

1 3(z  z )²


z ^2
  
_r 3
_ 0
_r 5

Demak,

 ¹ 

 ¹ 

_2
 _r 
 ¹ 

_2
 _r 
 ¹ 

_2
 _r  ₃

_{  }   _   _   _{  }


 ^r 
x²
y²
z ² r³

^(x  x )²  ( y  y )²  (z  z )^{2 } 3 3
 _ ^{0 0 0} _    0
_{ r}5 _{ r}3 _r3

Haqiqatan ham u  ¹
r
qaralayotgan sohadagi
M ₀ nuqtadan tashqari barcha

nuqtalarga garmonik funksiyadan iborat ekan.

2-Lemma.

u(x, y)  ln ¹  ln ¹
r

Funksiya tekislikdagi U₀ (x₀ , y₀ )

garmonik funksiyadan iborat.

Ya‟ni

nuqtadan tashqari barcha nuqtalarda

 
₂ ⁰

Isbot:

M  M
bo„lganligidan
r _ x  x_{0 ;}
r _ y  y₀
ga kelamiz.

⁰ x r y r

Endi
ln r
funksiyaning tegishli xosilalarini hisoblaymiz.

(ln r) _ (ln r) _; r _ 1 _ x  x_{0 } x  x₀

x r x r r r ²

(ln r) _ y  y₀

r r ²
2


r ²  (x  x )² / r ^r

^{ (ln r)} _ ^ ^{(ln r)}  _ ^  ^{x  x0}  _

 

⁰ x _

x²
x ^_ x
x ^_ x ^_ r ⁴

r ²  2(x  x )² 1
 ⁰  
_r 4 _r 2
2(x  x )²
_ 0
_r 4

Demak,

² (ln r)

² x

  ¹
_r 2
2(x  x )²
_ 0
_r 4

² (ln r)

² x

  ¹
_r 2
2( y  y )²
_ 0
_r 4

Demak bularni qo„shamiz


 ln r 
² (ln r)

x²

² (ln r)

 
_y2 ⁰

Yuqorida ko„rdikki, vaqtga bog‟liq bo„lmagan stasionar chegaraviy masalalarni tekshirishda Laplas va Puasson tenglamalarini


u  0 (1.1.1)

u   f (u) (1.1.2)

ko„rgan edik.

Qaralayotgan masala stasionar chegaraviy masalalardan iborat bo„lganligi uchun bu masalalarda boshlang‟ich shartlar ishtirok etmaydi. Xuddi yuqoridagilar kabi chegaraviy masalalarning ko„rinishlarini qarab chiqamiz.
Ma‟lumki,


u  0 (1.1.3)

u   f (u) (1.1.4)

(1.1.1) va (1.1.2) ko„rinishdagi tenglamalar vaqtga bog‟liq bo„lmagan prosesslarning to„liq tarqalishi qonuniyatlarni aniqlashga yetarli emas. Shu sababli bu qonuniyatlarning to„la aniqlash uchun topilishi kerak bo„lgan funksiyaning qaralayotgan sohaning sirtidagi qiymati ma‟lum bo„lishi kerak.

1. 
   S sirt bilan chegaralangan T sohada shunday bir funksiyani
   

u  u(x, y, z) topish kerakki, bu natijada (1.1.1) yoki (1.1.2) shu sohaning sirtida


u / s  f₁(x, y, z) berilgan funksiyaga aylansin. Ya‟ni quyidagi masalalarga kelamiz.

u  0
u / s 

f (x, y, z)^
(1.1.5)

1 


^{u   f} 
(1.1.6.)

u / s  f (x, y, z)^
1 

Bu keltirgan masalalarga elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo„yilgan birinchi chegaraviy masala deb yoki Dirixle masalasi deyiladi.

2. 
   S sirt bilan chegaralangan T sohada shunday bir
   

u  u(x, y, z)
funksiyani

topish kerakki, natijada bu funksiya (1.1.1) yoki (1.1.2) ni qanoatlantirib quyidagi chegaraviy shartni qanoatlantirsin.

^u / s  f
n ²
(x, y, z)

Bundagi




^u / s  ^ cos  ^ cos   ^{ } / s
n ^ x y z <sup>


Tashqi normal bo„yicha olingan hosilaning</sup> S ^{sirtdagi qiymati, ya‟ni quyidagi} masalaga kelamiz.

u  0

_
^ / s 
 n





2
f (x, y, z)^


(1.1.7)

u   f

_
^u / s 
 n





2
f (x, y, z)^


(1.1.8)

Bu masalalarga elliptik tipli tenglama uchun qo„yilgan ikkinchi chegaraviy masala yoki Neyman masalasi deyiladi.

3. 
   S sirt bilan chegaralangan T sohada shunday bir funksiyani, ya‟ni
   

u  u(x, y, z) ni topish kerakki, natijada bu funksiya shu qaralayotgan sohada (1.1.1)

yoki (1.1.2) tenglamani qanoatlantirib, quyidagi chegaraviy shart bajarilsin.

_ 

 _{_}  ku / s  f₃(x, y, z)
^ n ^

ya‟ni quyidagi masalaga kelamiz.

^{u  0} 
_  ^

(1.1.9)

  Hu / s  f (x, y, z)^
 ^_  3 ^{
 n  }

Bu keltirgan masalalargga elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo„yilgan uchinchi chegaraviy masala deb yuritiladi. Bunda ham uchinchi chegaraviy masala umumlashgan chegaraviy masaladan iboratdir. Bu masalalarning yechish jarayonida agar yechimi qaralayotgan T sohaning S sirtga nisbatan sohaning ichkarisida yoki tashqarisida topishni talab etiliishi mumkin. Shu sababli bu xildagi

masalalarga ichki yoki tashqi masalalar deyiladi. Bu keltirgan masalalardagi
f₁, f₂, f₃ lar sohaning sirtida berilgan funksiyalardan bo„lib hisoblanadilar.