O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi farg‘ona davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

2-2-§. Funksioanal qatorlarda hamda funksional ketma-ketliklarda hadlab limitga o’tish.

Funksional qatorlarda hadlab limitga o’tish: to’plamda yaqinlashuvchi (5)

funksional qator berilgan bo’lib, uning yig’indisi S(x) bo’lsin. nuqta esa M to’plamning limit nuqtasi.

Teorema: Agar da funksional qatorning har bir (n=1,2,…) xadi chekli

(n=1,2,…) (6)

limitga ega bo’lib, bu qator M da tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda

qator xam yaqinlashuvchi, uning yig’indisi C esa S(x) ning dagi limiti

ga teng bo’ladi.

Isbot. Shartga ko’ra (5) funksional qator tekis yaqinlashuvchi. U holda olganda xam shunday topiladiki, barcha , m>n lar va M to’plamning barcha x nuqtalari uchun

(7)

tengsizlik bajariladi. (6) shartni e’tiborga olib, (7) tengsizlikda da limitga o’tib quyidagini topamiz:

Demak, olinganda xam, shunday topiladiki barcha , m>n lar uchun

tengsizlaik bajariladi. Qator yaqinlashuvchiligning zaruriy va yetarli shartini ifodalovchi teoremaga muvoqif

(n=1,2,…)

qator yaqinlashuvchi bo’ladi.

Funksional ketma-ketliklarda hadlab limitga o’tish: M to’plamda

, , ,……, (x) ,…. (2)

Funksional ketma-ketlik berilgan bo’lib, uning limit funksiyasi f(x) bo’lsin , nuqta esa M to’plamning limit nuqtasi.

Teorema. Agar da funksional ketma-ketlikning xar bir (n=1,2, …) xadi chekli limitga ega bo’lib,

(n=1,2,…)

limitga ega bo’lib, bu ketma-ketlik M da tekis tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda

:

ketma-ketlik xam yaqinlashuvchi ,uning a= limiti esa f(x) ning dagi limitiga teng