Tomonlari arifmetik progressiya tashkil qiluvchi uchburchaklarning xususiyatlari

TOMONLARI ARIFMETIK PROGRESSIYA TASHKIL QILUVCHI UCHBURCHAKLARNING XUSUSIYATLARI.
Ko'rib chiqilgan uchburchakning eng qiziqarli xususiyatlari 1747 yilda Eyler tomonidan berilgan quyidagi teoremaga asoslanadi:
Har qanday uchburchakda uchburchakka tashqi va ichki chizilgan aylanalarning markazlari orasidagi masofa quyidagiga teng:
.
Biz quyidagi muammoni qo'yamiz:
Shunday uchburchak quraylikki, tomonlari arifmetik progressiya hosil qilsin. Hosil bo’lgan uchburchak qanday xususiyatlarga ega?
Keling, muammo hal qilindi, deb faraz qilaylik
Tomonlari , , ga teng uchburchak berilgan bo’lsin. Bunda uchburchak tomonlarini munosabtda desak, u holda bunday uchburchak qurish uchun tengsizlik bajarilishi kerak.
B , , – ABC uchburchakning tomonlari.
– ABC uchburchakning B uchidan
tushirilgan bissektrisasi.

A

D
C
bissektrisa ajratgan kesma quyidagiga teng:

Isbot. Uchburchak bissektrisasining asosiy xossasiga ko’ra,

tenglik o’rinli. Bu tenglikdan ni topsak,

tenglik kelib chiqadi.
Uchburchak tomonlari arifmetik progressiya bo’lgani uchun quyidagi tenglikka ega bo’lamiz:

составляют арифметическую прогрессию с разность 2, если известно, что произведение радиуса вписаной и описаной окружности равно 130.

Когда есть три члена арифметической прогрессии удобнее за неизвестное брать средний
a=x-2, b=x, c=x+2 (чтобы уравнение потом попроще получилось) .
S=abc/(4R) =(x-2)x(x+2)/(4R)
S=pr=(a+b+c)*r/2= (x-2+x+x+2)*r/2=3x*r/2,
Приравниваем:
(x-2)x(x+2)/(4R) =3x*r/2
Сокращаем на x
(x-2)(x+2)/(4R)= 3*r/2
Домножаем на 4R:
(x-2)(x+2)= 6*r*R.
Подставляем r*R=130:
x^2-4=6*130,
x^2=4*(1+3*65)=4*196=(2*14)^2
x=28.
a=26, b=28, c=30. c < a+b - треугольник существует.
p= 3x/2=42
p-a=16
p-b=14,
p-c=12
S=sqrt(p(p-a)*(p-b)*p-c)=sqrt(6*7*16*2*7*2*6)=6*7*4*2=336.
Найдите периметр треугольника, стороны которого составляют арифметическую прогрессию с разностью 3, если известно, что произведение радиусов вписанной и описанной окружностей равно 180.
Пусть стороны: а, а+3, а+6. Тогда
Р=а+а+3+а+6=3а+9, р=Р/2=(3а+9)/2
r*R=180
r=S/p, R=abc/4S
S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)
Подставив вместо a,b,c данные стороны в формулы радиусов, получим:

Получаем квадратное уравнение:

a^2+6a-1080=0
Решаем, получаем корни: а=30, а=-36. Берем только положительный.
Р=3*30+9=99

Bataille M. On the centres of root-mean-square triangles // Crux Mathematicorum. 2018. Vol. 44(2).

Lidskii V.B., Ovsyannikov L.V., Tulaykov A.N., Shabunin M.I. Tasks of elementary mathematics. M., 1965 (in Russian).

Scopec Z.A., Zharov V.A. Tasks and theorems of geometry. M., 1962 (in Russian).

Prasolov V.V. Tasks of plane geometry. M., 1986 (in Russian).

Galperin G.A., Tolpygo A.K. Moskow Mathematical Olympiadas. M., 1986 (in Russian).

Morozova E.A., Petrakov I.S. Internatiomal Mathematical Olympiadas. M., 1968 (in Russian).

Maltsev Yu.N., Monastyreva A.S. On Triangles Such That its Sides Form an Arithmetic Progression // Conference "Mathematics to Altai region"(Russia, Barnaul). 2019.

Soltan V., Maidman S. Identities and inequalities in a triangle. Kishinev, 1982 (in Russian).

Zetel S.I. New geometry of a triangle. M., 1962 (in Russian).

Maltsev Yu.N., Monastyreva A.S. Selected lectures on the geometry of triangle and quadrangle. Barnaul, 2016 (in Russian)