O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika –matematika fakulteti “Matematika” kafedrasi Xayriyeva Nargiza

ikki o’lchovli to’lqin tenglamasi deyiladi. Uch o’lchovli to’lqin tenglamasi
(1.1.6)
bir jinsli muhitda tovush tarqalishi va elektr o’tkazmaydigan bir jinsli muhitda elektromagnit to’lqinlari tarqalishini ifodalaydi. (1.1.6) tenglamani gazning zichligi, bosimi, tezliklarning potensiali hamda elektr va magnit maydonlari kuchlanishlarining tashkil etuvchilari qanoatlantiradi.
(1.1.3), (1.1.5), (1.1.6) tenglamalar qisqacha
(1.1.7)
ko’rinishida yoziladi, bunda -to’lqin operator (Dalamber operatori):

-Laplas operatori

Tor yoki sterjen tebranish jarayoning fizik ma’nosidan shu narsa kelib chiqadiki, bu jarayonni bir qiymatli ifodalash uchun qo’shimcha u siljish va tezlikning boshlang’ich vaqtidagi qiymatlarini (boshlang’ich shartlar)
berish zarur:

Bundan tashqari torning chetki nuqtalaridagi holatini ham ko’rsatish kerak. Torning tekshirilayotgan qismining ikki cheti mustahkamlangan bo’lsa, izlanayotgan yechim

Shartlarni qanoatlantirishi zarur.
Agar tor yoki sterjenning chetlari mustahkamlanmay, biror qonun bo’yicha harakatlanayotgan bo’lsa,

shartlarni berish kerak.
Agar torning l chetiga berilgan kuch ta’sir qilayotgan bo’lsa,

Haqiqatdan ham bu holda
.
Agar sterjenning ikki yoki bir cheti, masalan x=l elastik mustahkamlangan bo’lib, -mustahkamlik qattiqligi koeffisiyenti bo’lsa, Guk qonuniga asosan
bo’ladi, ya’ni x=l chet siljishi mumkin, ammo mustahkamlanganlikning elastik bu chetda taranglik paydo bo’lishga sabab bo’ladi, bu esa siljigan chetni oldingi holatiga keltirishga intiladi.
Yuqorida keltirib chiqarilgan to’lqin tebranish tenglamalari ravshanki, giperbolik tipga tegishlidir.

Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalani Fur’e metodi bilan yechish.

Tenglamani chegaraviy shartlarni va boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab qilinsin. Bu yerda boshlang’ich paytda sterjen temperaturasi funksiya orqali ifodalanadi. Butun tajriba davomida sterjen chekkalarida nol temperatura saqlanadi deb yuritiladi. (1) tenglamaning noldan farqli yechimini

ko’rinishda izlaymiz. (2) chegaraviy shartida barcha uchun ya`ni Aks holda bo’lib, shartimizga zid bo’ladi. (4) ni (1) ga qo’yib, noma`lumlarni ajratib

ni hosil qilamiz, ya`ni
bu oddiy differensial tenglamani umumiy yechimini topamiz


va larni (5) shartdan foydalanib topamiz.


Birinchisidan ikkinchisidan ekanligi kelib chiqadi. chunki, aks holda bo’lib, bo’lib qoladi. Bu shartga zid. Shuning uchun bo’lishi kerak, bundan, xos qiymatlarini topamiz. Ularga mos keladigan xos funksiyalar

tenglik bilan ifodalanadi. Topilgan ning ifodasini (8) ga qo’ysak,



(9) va (10) larni (4) ga qo’yib (1) tenglamani (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini hosil qilamiz

bu yerda
(1) tenglama chiziqli va bir jinsli bo’lganligi uchun yechimlarning yig’indisi ham yechim bo’ladi

o’zgarmasni aniqlash uchun boshlang’ich (3) shartdan foydalanamiz.
bo’lganda,

bo’lib, funksiyani intervalda Fur`e qatoriga yoyilmasi mavjud deb faraz qilsak,

ga teng bo’ladi.
Shunday qilib, qo’yilgan masalaning yechimi

ko’rinishda ekanligini aniqladik. Bu yerda (14) formula yordamida topiladi.
Misol tenglamani chegaraviy va boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Yechish:

Misol: sohada tenglamaning boshlang’ich va chrgaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Yechish:

Ikkinchi integralda almashtirish bajarib, ba`zi hisob kitoblardan keyin, ni bilan almashtirib, ushbu tenglikka ega bo’lamiz

Bo’llaklab integrallash natijasida

Ga ega bo’lamiz. Topilgan ni qiymatini (15) ga qo’yib, masala yechimini hosil qilamiz:


Agar, bo’lsa,
Agar, bo’lsa, va bo’lganligi uchun, yechimni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: