O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi “ “ m m

quyidagicha topiladi:

z

y

x

z

y

x

b

b

b

a

a

a

k

j

i

b

a

r

r

r

=

´

Masalan:

a

r

 va

b

r

 vektorlarning vektor ko`paytmasini toping.

k

i

b

vа

k

j

a

r

r

r

r

2

2

+

=

+

=

b

x

a

r

r

=

k

j

i

k

j

i

b

b

b

a

a

a

k

j

i

z

y

x

z

y

x

r

r

r

r

r

r

r

r

r

2

4

2

0

1

1

2

0

-

+

=

=

.

Agar

®

a

 va

®

b

 vektorlar kollinear bo`lsa, u holda

z

z

y

y

x

x

b

a

b

a

b

a

=

=

.

®

a

 va

®

b

 vektorlardan yasalgan parallelogramning yuzi:

,

®

®

´

=

b

a

S

shu vektorlarda yasalgan uchburchakning yuzi:

®

®

D

´

=

b

a

S

2

1

Jism A nuqtasiga qo`yilgan

®

F

 kuchning O nuqtaga nisbatan

®

M

 momenti

37

®

®

®

´

=

F

OA

M

formula bilan hisoblanadi.

Masalan.

®

®

®

-

=

j

i

a

3

2

 va

®

®

®

+

=

j

i

b

4

3

 vektorlarga qurilgan parallelogramning yuzini

toping.

Yechish:

®

a

 va

®

b

 vektorlarga qurilgan parallelogramning S yuzi shu vektorlar vektor

ko`paytmasining moduliga teng:

®

®

´

=

b

a

s

.

a

r

 va

b

r

 vektorlarning vektor ko`paytmasini toping.

b

x

a

r

r

=

k

j

i

k

j

i

b

b

b

a

a

a

k

j

i

z

y

x

z

y

x

r

r

r

r

r

r

r

r

r

9

8

12

4

0

3

0

3

2

+

-

-

=

-

=

.

Demak,

(

) ( )

.

17

81

64

144

9

8

12

2

2

2

kv

S

=

+

+

=

+

-

+

-

=

 birlik.

Masalan.

k

i

b

vа

k

j

a

r

r

r

r

2

2

+

=

+

=

 vektorlardan yasalgan uchburchak yuzi topilsin.

Yechish:

b

x

a

r

r

=

k

j

i

k

j

i

k

j

i

b

b

b

a

a

a

k

j

i

z

y

x

z

y

x

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

2

4

2

4

2

0

1

1

2

0

-

+

==

-

+

=

=

Demak ,uchburchak yuzi

S=

2

21

2

4

1

16

2

=

+

+

=

b

x

a

r

r

j: S=

.

.

2

21

birlik

kv

Masalan. Uchlari

( ) (

)

(

)

2

;

3

;

4

4

;

3

;

2

,

1

;

1

;

1

C

va

B

A

 nuqtalarda bo`lgan uchburchak yuzasi

hisoblansin.

Yechish.

®

®

AC

va

AB

vektorlarni topamiz:

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

.

2

3

1

2

1

3

1

4

,

3

2

1

4

1

3

1

2

®

®

®

®

®

®

®

®

®

®

®

®

®

®

+

+

=

-

+

-

+

-

=

+

+

=

-

+

-

+

-

=

k

j

i

k

j

i

AC

k

j

i

k

j

i

AB

®

®

AC

va

AB

vektorlardan yasalgan parallelogramning yuzini yarmi uchburchakning

yuziga teng, shuning uchun

®

®

AC

va

AB

 vektorlarning vektor ko`paytmasini topamiz;

38

k

j

i

k

j

i

AC

AB

r

r

r

r

r

r

4

8

4

1

2

3

3

2

1

-

+

-

=

=

´

®

®

.

Bundan

.)

.

(

24

16

64

16

2

1

2

1

bir

kv

AC

AB

S

ABC

=

+

+

=

´

=

®

®

  j:

.

.

24 bir

kv

Masalan.

®

®

®

®

+

+

b

a

va

b

a

3

3

vektorlardan yasalgan parallelogramning yuzini hisoblang,

agar

0

30

,

,

1

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

=

Ù

®

®

b

a

b

a

ga teng bo`lsa.

Yechish.

®

®

®

®

®

®

®

®

®

®

®

®

®

®

®

®

®

®

´

-

=

×

+

´

-

´

+

×

=

=

´

+

´

+

´

+

´

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

´

÷

ø

ö

ç

è

æ +

b

a

b

a

b

a

b

b

a

b

b

a

b

a

b

a

b

a

8

0

3

9

0

3

3

9

3

3

3

(

®

®

®

®

®

®

®

®

´

-

=

´

=

´

=

´

b

a

a

b

b

b

a

a

,

0

 ekanligidan) . Demak,

.)

.

(

4

30

sin

1

1

8

8

0

bir

kv

b

a

S

=

×

×

×

=

´

=

®

®

j: 4 kv.birlik.

Mavzu: Uchta vektorning aralash ko’paytmasi va uning geometrik ma’nosi. Uchta

vektorning komplanarlik sharti.

Ta`rif.

a

r

 ,

b

r

 va

®

c

 vektorlarning aralash ko`paytmasi deb

®

®

®

×

÷

ø

ö

ç

è

æ ´

c

b

a

ko`rinishdagi ifodaga aytiladi.

Agar

a

r

 ,

b

r

 va

®

c

 vektorlar o`zlarining koordinatalari bilan berilgan bo`lsa, u

holda aralash ko`paytma quyidagicha ifodalanadi:

z

y

x

z

y

x

z

y

ч

c

c

c

b

b

b

a

a

a

c

b

a

=

×

÷

ø

ö

ç

è

æ ´

®

®

®

.

Aralash ko`paytma xossalari.

a)

®

®

®

®

®

®

®

®

®

×

÷

ø

ö

ç

è

æ ´

-

=

×

÷

ø

ö

ç

è

æ ´

-

=

×

÷

ø

ö

ç

è

æ ´

a

b

c

b

c

a

c

b

a

;

b)

®

®

®

®

®

®

®

®

®

=

÷

ø

ö

ç

è

æ ´

×

=

×

÷

ø

ö

ç

è

æ ´

c

b

a

c

b

a

c

b

a

;

c)

®

®

®

®

®

®

®

®

®

=

=

b

a

c

a

c

b

c

b

a

;

39

d) agar vektorlardan aqalli bittasi nol vektor yoki

a

r

 ,

b

r

 ,

®

c

 vektorlar komplanar

bo`lsa, y holda

0

=

®

®

®

c

b

a

 bo`ladi.

Agar

®

®

®

c

b

a ,

,

 vektorlar komplanar bo`lsa , u holda

0

=

z

y

x

z

y

x

z

y

x

c

c

c

b

b

b

a

a

a

.

a

r

 ,

b

r

 va

®

c

 vektorlardan yasalgan parallelepipedning hajmi:

î

í

ì

-

+

±

=

®

®

®

.

`

,

`

`

etadi

tashkil

lam

bog

chap

vektorlar

etadi

tashkil

lam

bog

ng

o

vektorlar

c

b

a

V

a

r

 ,

b

r

 va

®

c

 vektorlardan yasalgan piramidaning hajmi:

®

®

®

±

=

c

b

a

V

pir

6

1

.

a

r

 ,

b

r

 va

®

c

 vektorlarda yasalgan tetraedrning hajmi:

®

®

®

±

=

c

b

a

V

tetroed

3

1

..

Masalan. Uchta vektorning aralash ko`paytmasini toping.

k

j

i

b

k

j

i

a

r

r

r

r

r

r

r

r

5

4

;

4

3

2

-

+

=

+

-

=

 va

k

j

i

c

r

r

r

r

6

2

3

+

-

=

.

Yechish:

35

18

20

48

45

8

48

6

2

3

5

4

1

4

3

2

=

+

-

-

+

-

=

-

-

-

=

=

z

y

x

z

y

x

z

y

x

c

c

c

b

b

b

a

a

a

c

b

a

r

r

r

.

J:35.

Masalan. a

k

j

i

c

k

j

i

b

k

j

i

6

12

3

,

4

3

2

,

2

3

+

+

-

=

-

-

=

+

+

-

=

vektorlarning o`zaro komplanar

ekani ko`rsatilsin.

Yechish:

;

0

36

48

18

36

48

18

6

12

3

4

3

2

2

3

1

=

-

-

-

+

+

=

-

-

-

-

=

abc

Masalan. Uchlari

(

) (

) (

)

(

)

1

;

0

;

1

2

;

3

;

0

,

1

;

2

;

1

,

0

;

2

;

1

D

va

C

B

A

-

-

 nuqtalarda bo`lgan

piramidaning hajmini hisoblang.

40

Yechish. Piramidaning A uchidan chiqqan qirralariga mos keluvchi vektorlarni

topamiz:

{

}

{

}

{

}

.

1

;

2

;

0

,

2

;

5

;

1

,

1

;

0

;

2

-

=

-

-

=

-

=

®

®

®

AD

AC

AB

Piramidaning hajmi shu vektorlarga qurilgan parallelepiped hajmining

6

1

 qismiga

teng bo`lganligi sababli

.

.

3

2

4

6

1

1

2

0

2

5

1

1

0

2

6

1

birlik

kub

V

=

×

=

-

-

-

-

±

=

MISOLLAR.

1.

( )

2

,

3

a

,

( )

1

;

5

b

r

,

(

)

3

,

1

-

cr

 vektorlar berilgan

c

b

a

r

r

r

-

+ 3

2

,

c

b

a

r

r

9

5

16

-

+

vektorlarning koordinatalarini toping.

2.

(

)

2

,

0

,

3

-

a

,

(

)

5

,

2

,

1

-

b

r

,

(

)

1

,

1

,

1

-

c

,

(

)

1

,

4

,

8

d

r

 vektorlar berilgan

d

c

b

a

r

r

r

+

-

+

-

6

5

,

d

c

b

a

r

r

r

-

-

-

3

 vektorlarning koordinatalarini toping.

3. A(2;2;0) va B(0;-2;5) nuqtalar berilgan.

u

AB

=

®

vektor yasalsin hamda uning

uzunligi va yo`naltiruvchi kosinuslari aniqlansin.

4. a)

{

}

16

;

15

;

12

-

-

=

ar

 vektorning yo’naltiruvchi kosinuslarini toping.

   b)

{

}

6

;

2

;

3

-

=

ar

 va

{

}

0

;

1

;

2

-

=

b

r

 vektorlar berilgan 1)