O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi “ “ m m

1

O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O`RTA

MAXSUS TA`LIM  VAZIRLIGI

“

“

M

M

a

a

t

t

e

e

m

m

a

a

t

t

i

i

k

k

a

a

”

”

k

k

a

a

f

f

e

e

d

d

r

r

a

a

s

s

i

i

               Katta o`qituvchi:                    Atajanova M.A.

Katta o`qituvchi:

N

N

a

a

l

l

i

i

b

b

a

a

y

y

e

e

v

v

a

a

Z

Z

.

.

A

A

.

.

“Matematika” fanining

“Matematikadan misol va masalalar to`plami ”

I- qism

(Chiziqli algebra,vektorlar algebrasi va tekislikdagi

analitik geometriya” bo’limlari)_

                     (

Bakalavriatning barcha ta`lim yo`nalishlari uchun

)

Тoshкеnт - 2016

TOSHKENT TO`QIMACHILIK VA

YENGIL SANOAT INSTITUTI

2

O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O`RTA

MAXSUS TA`LIM  VAZIRLIGI

TOSHKENT TO’QIMACHILIK VA YENGIL SANOAT

INSTITUTI

“

“

M

M

a

a

t

t

e

e

m

m

a

a

t

t

i

i

k

k

a

a

”

”

k

k

a

a

f

f

e

e

d

d

r

r

a

a

s

s

i

i

               Katta o`qituvchi:          Atajanova M.A.

Katta o`qituvchi:

N

N

a

a

l

l

i

i

b

b

a

a

y

y

e

e

v

v

a

a

Z

Z

.

.

A

A

.

.

“Matematika” fanining

” Matematikadan misol va masalalar to`plami ”

I- qism

                     (

Bakalavriatning barcha ta`lim yo`nalishlari uchun

)

       UDK 517(075.8)

               M  62

3

Mazkur  o`quv uslubiy qo`llanma Oliy va o`rtamaxsus ta`lim vazirligi

tomonidan tasdiqlangan “Matematika” o`quv dasturining chiziqli algebra elementlari,

vektorlar algebrasi va tekislikdagi analitik geometriya bo`limiga muvofiq yozilgan

bo`lib, bakalavriyat talabalari uchun mo`ljallangan. Unda qisqacha nazariy

ma`lumotlar bilan birga, amaliy mashg`ulotlar bo`yicha xarakterli misollarni qo`yish

va yechish uslubi keltirilgan.

Ushbu o`quv-uslubiy qo`llanma Toshkent to`qimachilik va yengil sanoat

institutining ilmiy-uslubiy kengashi tomonidan nashrga tavsiya etilgan.

                   Tuzuvchilar:         katta o’qituvchi М.A. Atajanova,

                                                katta o’qituvchi Z.A. Nalibaeva.

Taqrizchilar:            O’z.MU dotsent T.T. To’ychiyev

TTYeSI dotsent M.M.  Caydamatov

Institut ilmiy-uslubiy

kengashida tasdiqlangan

“___”________2016 yil

_____№_Bayonnoma

TTYSI bosmaxonasida

“______” nusxada

ko’paytirilgan

4

So`z boshi

Respublikamizda yangi ta`lim  tizimlari yangi ikki pog`onali bakalavr-

magistr tizimi joriy etilishi bilan barcha fanlar qatorida “Matematika” fanining

ham auditoriya soatlari hajmi qisman o`zgartirilib, mustaqil o`quv soatlari

ko`paytirildi.

Shu bois , o`quv dasturlariga mos keladigan yangi pedogogik-

texnologiyalar asosida, chet el dasturlarini e`tiborga olgan holda sodda va

ravon tilda yozilgan o`quv- uslubiy(ko`rsatmlarni) yaratish dolzarb masala

bo`lib qoldi

Mazkuro`quv- uslubiy ko`rsatmada Oliy va o`rta maxsus ta`lim

vazirligi tomonidan tasduqlangan “Matematika” o`quv dasturining chiziqli

algebra elementlari, vektorlar algebrasi va tekislikdagi analitik geometriya

bo`limiga muvofiq yozilgan bo`lib, unda qisqacha nazariy ma`lumotlar bilan

birga,ularga mos amaliy mashg`ulotlar uchun misollar keltirilgan

O`quv – uslubiy qo`llanmaning chiziqli algebra elementlari

bo`limida matritsalar, teskari matritsa, matritsalar  ustida chiziqli amallar,

determinantlar va ularni hisoblash usullari, tenglamalar yechishning Gauss,

Kramer va matritsa usulida t mumkinligi ko`rsatilgan.

 Vektorlar algebrasi bo`limida, vektorlar tushunchasi va ular ustida

amallar, skolyar, vektor va aralash ko`paytmalar haqida tushuncha berilgan.

 Tekislikda analitik geometriya bo`limida esa tekislikda yotgan

to`g`ri chiziqlarning turli ko`rinishdagi tenglamalari va ikkinchi tartibli

chiziqlardan aylana, ellips, giperbola va parabola haqida tushuncha berilgan.

O`quv- uslubiy qo`llanma Toshkent to`qimachilik va yengil sanoat

institutining barcha yo`nalishdagi talabalari uchun mo`ljallangan.

5

1-BOB

AMALIY MASHG`ULOT.

Mavzu: Matrisa. Matrisalar ustida amallar.

To`rtta sondan iborat

kvadrat jadval ikkinchi tartibli kvadrat matritsa deyiladi.

Sonlarning m ta satr va n ta ustundan iborat to`g`ri to`rtburchakli jadvalga

n

m

´

 o`lchamli matritsa deyiladi. Bu matritsa

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

mn

m

m

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

...

...

...

2

1

2

22

21

1

12

11

ko`rinishda yoziladi.

Agar m=1 bo`lsa satr matritsa, n=1 bo`lsa- ustun matritsa, m=n bo`lsa-

kvadrat matritsa hosil bo`ladi. Kvadrat  A matritsa uchun shu matritsaning

elementlaridan tuzilgan n tartibli determinantni hisoblash mumkin. Bu determinant

A

det

 yoki

A

 orqali belgilaniladi:

mn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

A

...

...

...

...

...

...

...

det

2

1

2

22

21

1

12

11

=

=

Agar

0

det

=

A

 bo`lsa, u holda  A matritsa maxsus,

0

det

¹

A

 bo`lsa, maxsusmas

deyiladi.

Bosh diagonalida turgan elementlari birga, qolgan elementlari nolga teng

bo`lgan kvadrat matritsa birlik matritsa deb ataladi va E bilan belgilanadi:

÷÷

÷

÷

÷

ø

ö

çç

ç

ç

ç

è

æ

=

1

...

0

0

0

...

...

....

....

...

0

...

0

1

0

0

...

0

0

1

E

Ravshanki,

1

det

=

E

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

22

21

12

11

a

a

a

a

6

Bir xil

n

m

´

 o`lchamli A va B matritsaning yig`indisi deb o`sha

o`lchamli shunday C

B

A

+

=

 matritsaga aytiladiki, uning har bir elementi A va B

matritsalarning mos elementlari yig`indisidan iborat bo`ladi.

Masalan:

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

=

d

c

b

a

A

 va

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

=

k

l

n

m

B

 matritsalarning yig`indisi va ayirmasi

quyidagicha topiladi:

a) C=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

+

+

+

+

=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

+

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

=

+

k

d

l

c

n

b

m

a

k

l

n

m

d

c

b

a

B

A

b)

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

-

-

-

-

=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

-

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

=

-

k

d

l

c

n

b

m

a

k

l

n

m

d

c

b

a

B

A

n

m

´

 o`lchamli A matritsaning

l

 songa ko`paytmasi deb, o`sha o`lchamdagi

A

B

×

=

l

 matritsaga aytiladiki, bu matritsa elementlari A matritsa elementlarini

l

 ga

ko`paytirishdan hosil bo`ladi.

Masalan:

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

 matritsani

l

 soniga ko`paytirish quyidagicha bo`ladi:

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

k

m

´

 o`lchami A matritsaning

n

k

´

 o`lchamli  B matritsaga ko`paytmasi deb,

n

m

´

 o`lchamli shunday

B

A

C

×

=

 matritsaga aytiladiki, uning

ij

c

 elementi  A

matritsaning i- satr elementilarini B matritsaning j- ustunidagi mos elementlariga

ko`paytmalari yig`indisiga teng, yani

kj

ik

j

i

j

i

ij

b

a

b

a

b

a

c

+

+

+

=

...

2

2

1

1

Agar AB=BA bo`lsa, u holda A va B matritsalar o`rin almashinadigan yoki

kommutativ matritsalar deyiladi.

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

=

d

c

b

a

A

 va

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

=

k

l

n

m

B

 ikkinch tartibli matritsalarning ko`paytmasi

quyidagicha topiladi:

1.

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

+

+

+

+

=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

×

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

=

×

dk

cn

dl

cm

bk

an

bl

am

k

l

n

m

d

c

b

a

B

A

7

2.

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

 va

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

33

32

31

23

22

21

13

12

11

b

b

b

b

b

b

b

b

b

B

 uchinchi tartibli matritsalarnuing

ko`paytmasi quyidagicha topiladi:

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

×

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

×

33

33

23

22

13

31

32

33

22

32

12

31

31

33

21

32

11

31

33

23

23

22

13

21

32

23

22

22

12

21

31

23

21

22

11

21

33

13

23

12

13

11

32

13

22

12

12

11

31

13

21

12

11

11

33

32

31

23

22

21

13

12

11

33

32

31

23

22

21

13

12

11

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

b

b

b

b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

a

a

a

a

B

A

3.

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

32

31

22

21

12

11

a

a

a

a

a

a

A

 va

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

=

33

22

21

13

12

11

b

b

b

b

b

b

B

 matritsalarnuing ko`paytmasi

quyidagicha topiladi:

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

×

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

×

23

32

13

31

23

22

13

21

22

32

12

31

22

22

12

21

21

32

11

31

21

22

11

21

23

12

13

11

22

12

12

11

21

12

11

11

23

22

21

13

12

11

32

31

22

21

12

11

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

a

B

A

 4.

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

=

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

A

va

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

32

31

22

21

12

11

b

b

b

b

b

b

B

 matritsalarnuing ko`paytmasi quyidagicha topiladi:

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

+

+

+

+

+

+

+

+

=

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

×

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

=

×

32

23

22

22

12

21

31

23

21

22

11

21

32

13

22

12

12

11

31

13

21

12

11

11

32

31

22

21

12

11

23

22

21

13

12

11

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

a

B

A