O’zbekistоn respublikasi оliy va o’rta mahsus ta`lim vazirligi namangan muhandislik-pedagоgika instituti

Oddiy differensial tenglamalarning yechgichlaridan foydalanish.
 
Differensial 
tenglamalarni yechish funksiyalarida quyidagi belgilash va qoidalar qabul qilingan: 

---

•
options
- 
odeset
funksiyasi hosil qiladigan argument (yana bir funksiya - 
odeget
yoki 
bvpget
(faqat 
bvp4c
uchun) - sukut bо`yicha yoki 
odeset
/
bvpset
funksiyalari tomonidan 
о`rnatilgan parametrlarni chiqarish; 
•
tspan
- integrallash intervalini aniqlaydigan vektor 


tfinal
t
,
0
. Yechimni 
konkret vaqt momentlarida 
tfinal
t
t
...
1
0
(ortib yoki kamayib boruvchi tartibda joylashgan) 
topish uchun 
]
...
1
0
[
tfinal
t
t
tspan

dan foydalanish kerak; 
•
0
y
- boshlang`ich shartlar vektori; 
•
,.,
2
,
1
p
p
- 
F
funksiyaga uzatiluvchi ixtiyoriy parametrlar; 
•
Y
T
,
- 
Y
har bir satri 
T
vektor - ustunda qaytarilgan vaqtga mos keladigan 
yechimlar matritsasi. 
Differensial tenglamalar sistemalarini yechish uchun ishlatiladigan 
funksiyalarning tavsifiga о‘tamiz: 
•
 


0
,
,
@
,
y
tspan
F
solver
Y
T

- 
 
y
t
F
y
,


kо`rinishdagi 
differensial 
tenglamalar sistemasini 
tspan
intervalda 
0
y
boshlang‘ich shartlarga asosan integrallaydi. 
F
@
- ODT- funksiyaning deskriptori. 
Y
yechimlar massividagi har bir satr 
T
vektor-
ustunda qaytariluvchi vaqt qiymatlariga mos keladi; 
•
 


options
y
tspan
F
solver
Y
T
,
0
,
,
@
,

- 
yuqoridagiga 
о`xshash, 
lekin 
qо`shimcha 
odeset
funksiyasi hosil qiladigan 
options
argumentning qiymatlari orqali 
aniqlanuvchi parametrlar bilan. Odatda bunday parametrlarga nisbiy xatolikning yo`l 
qо`yiladigan qiymati RelTol (sukut holatida 
3
1

e
) va ruhsat etiladigan absolyut 
xatoliklarning vektori AbsTol (sukut holatida hamma kompanentlari 
6
1

e
ga teng) kiradi; 
•
 


...
2
,
1
,
,
0
,
,
@
,
p
p
options
y
tspan
F
solver
Y
T

- yuqoridagiga о`xshash, lekin 
qо`shimcha 
,.,
2
,
1
p
p
parametrlarni har bir chaqirilganida 
m
-fayl 
F
ga uzatadi. Agar 
option
parametrlar berilmaydigan bо`lsa ularning о`rniga [ ] deb yoziladi; 
•




...
2
,
1
.
,
.
0
.
,
model
@
,
,
p
p
ut
options
y
tspan
sim
Y
X
T


- SIMULINK modelini 
ishlatadi (undan mos yechgichni chaqiradi). Misol uchun: 
•




...
model
@
,
,
sim
Y
X
T

. 
Integrallash parametrlari (
options
) 
m
-faylda yoki 
odeset
komandasi yordamida 
komandalar satrida aniqlanishi mumkin. 
Yechgichlarning parametrlari rо`yhatida quyidagi parametrlar bо`lishi mumkin: 
•
NormControl
- yechim vektori normasi 
[on | {off}]
ga bog`liq holda xatolikni 
boshqaradi, 
AbsTol)
norm(y),
*
max(RelTol
norm(e)

bо`lishi uchun 
‘on’ 
о`rnatiladi; 
•
RelTol
- nisbiy tanlash chegarasi [musbat skalyar]. Hamma yechgichlarning 
aniqligi sukut holatida 
3
1

e
(0.1%)ga teng; 
•
AbsTol
- absolyut aniqlik [musbat skalyar yoki vektor {
6
1

e
}]; 
•
OutputFcn
- chiqarish funksiyasi [function] ning deskriptori; 
ODT yechgichlarining ishlatilishini ikkita differensial tenglamadan tuzilgan 
sistema kо`rinISISagi Vander-Pol tenglamasini yechish misolida kо`raylik: 


1
2
2
1
2
2
1
1
100
y
y
y
y
y
y






Boshlang`ich shartlar: 

---

 
 
1
0
;
0
0
2
1


y
y
Yechishdan oldin differensial tenglamalar sistemasi ode-funksiya kо`rinISISa 
yozib olinadi. Buning uchun bosh menyuda File → New → M-File ni tanlaymiz va 
quyidagilarni kiritamiz: 
function dydt = vdpl00(t,y) 
dydt = zeros(2,l); % a column vector -ustun vektor 
dydt(l)=y(2); 
dydt(2)=100*(l-y(l).
A
2).*y(2)-y(l); 
m-fayl-funksiyani saqlaymiz. Yechimni 
odel5s
yechgich yordamida va unga mos 
grafikni olish uchun quyidagi komandalardan foydalanamiz: 
>> [T,Y]=ode15s(@vdp100,[0 30],[2 0]); 
>> plot(T,Y) 
>> hold on;gtext('y1'),gtext('y2') 
Sо`nggi komanda sichqoncha yordamida grafikka ikkita yozuv kiritish imkoniyatini 
beradi (4-rasm). 
4-rasm. Van-der-Pol tenglamasining yechimiga mos grafik 
Natijalarni komandalar oynasida ham kо`rish mumkin: 
>> T 
T = 
0 
0.0000 
0.0001 
0.0001 
0.0004 
… … 
30.0000 
>> Y 
Y = 
2.0000 0 
2.0000 -0.0001 
2.0000 -0.0002 

---

2.0000 -0.0003 
2.0000 -0.0008 
… …
1.7794 -0.0082