Boshqa o'yinchilarning strategiyalari muvozanat (sobit) profiliga kirganda,
Nesh muvozanatida har qanday o'yinchining strategiyasi
maksimal daromadni
ta'minlaydi.
𝑖
dan tashqari barcha o'yinchilar strategiyalarining muvozanat
qiymatlarini fiksirlaymiz. U holda uning to'lov funktsiyasi
̃
(
)
(
)
bir o‟zgaruvchili funksiya – uning strategiyalari, Nesh bo‟yicha muvozanati esa
strategiya
–
bu funksiyaning argmaksimumi, ya'ni
̃
(
)
ni
maksimallashtiruvchi strategiyalar to'plamidir.
Ta'rif 3.2.
𝑖
o'yinchining
reaksiya
akslantirishi
(eng yaxshi yechim
akslantirishi) – bu
(
)
to'plam bo‟lib, barcha
∈
lar uchun quyidagi
tenglik o‟rinli bo‟ladi:
(
) {
∈
|
(
)
∈
(
)}
Kiritilgan tushunchalarni misollarda ko'rib chiqamiz. Quyidagi to‟lov
matritsalari bilan tasvirlangan bimatritsali o'yinni qaraymiz:
,
Eng yaxshi yechim akslantirishi yordamida ushbu o'yindagi Nesh
muvozanatini topamiz. Bunday akslantirish har bir o'yinchi uchun quyidagicha
quriladi. Avvalo qaralayotgan o'yinchining maksimal to'lovi
qidiriladi, so‟ngra
raqibining strategiyasi fiksirlanadi. Bunda, raqibning fiksirlangan strategiyasida
o'yinchining to'lovi (yutug‟i) ni maksimallashtiradigan va eng yaxshi yechim bo‟la
oladigan strategiyalar to'plami qaraladi.
Buni birinchi o'yinchi misolida ko'rsatamiz. Unga raqib bo‟lgan ikkinchi
o'yinchining uning birinchi strategiyasiga eng yaxshi javobini topamiz (birinchi
o'yinchining ikkinchi o'yinchi 1-strategiyasiga javobi), bizda:
( )
- ya‟ni
ikkinchi o'yinchining 1-strategiyasi uchun birinchi o'yinchi 3-strategiya bilan javob
berishi eng maqbul bo‟lib hisoblanadi. Xuddi shunday birinchi o'yinchining
ikkinchi o'yinchining boshqa strategiyalariga eng yaxshi javoblarini topamiz:
( )
,
( )
va
( )
. Ikkinchi o'yinchi uchun:
( )
,
( ) * +
,
( )
va
( )
. E‟tibor beramizki, birinchi
o'yinchining ikkinchi strategiyasiga ikkinchi o'yinchi ikkita strategiyadan biri bilan
javob bera oladi - birinchi yoki uchinchi - mumkin bo'lgan maksimal bir xil 2 birlik
yutuqga ega bo‟ladi.
Ko'rib chiqilayotgan o'yindagi Nesh muvozanati – bu o'yinchilarning hech
biri bir tomonlama chetlanishdan foyda ko'rmaydigan vaziyatdir. Eng yaxshi javob
akslantirishi
nuqtai nazaridan, bu ta'rif quyidagicha yoziladi: muvozanat - bu
shunday strategiyalar profiliki, unda raqibning muvozanat strategiyasida har bir
o'yinchining strategiyasi uning eng yaxshi yechim to'plamiga kiritilgan.
Misolimizga qaytamiz. Bu yerda muvozanat holat {3; 2} - birinchi o'yinchi
uchun 3-strategiya ikkinchi o'yinchining 2-strategiyasiga eng yaxshi javobdir,
ikkinchi o'yinchi uchun esa 2-strategiyasi raqibining
uchinchi strategiyasiga eng
yaxshi javob bo‟ladi.
Taklif etilayotgan algoritmni yanada oddiyroq tasvirlash mumkin.
O‟yinchilarning bir juft to'lov matritsalarini batafsil ko'rib chiqaylik. Bimatritsali
o'yinlarning normal shakli tushunchasiga ko'ra, birinchi o'yinchining strategiyalari
to'lov matritsalarining qatorlariga mos keladi; ikkinchisining strategiyalari esa -
ustunlarga. Shunday qilib, ikkinchi o'yinchining fiksirlangan strategiyasiga birinchi
o'yinchining eng yaxshi javobini qidirish uchun biz 2-o'yinchining
ushbu
strategiyasiga mos keladigan ustun raqamini fiksirlashimiz va birinchi matritsadagi
ushbu ustunning elementlari orasidagi eng kattasini topishimiz kerak.
Ushbu maksimal qiymat joylashgan qatorlar nomeri birinchi o'yinchining
ikkinchisining strategiyasiga eng yaxshi javoblari to'plamini shakllantiradi. Xuddi
shunday, birinchi o‟yinchining fiksirlangan strategiyasiga mos ravishda ikkinchi
o'yinchining eng yaxshi javobini qidirish uchun uning to'lov matritsasi qatoridan
barcha maksimal qiymatlarni topish kerak (qator birinchi o'yinchining fiksirlangan
strategiyasiga mos holda tanlanadi).
Oldingi misoldagi matritsalar juftligini yana bir bor ko'rib chiqamiz.
𝐴
matritsadagi ustunlarning har biridagi eng katta elementlarni qaragan edik, endi esa
𝐵
matritsada - har bir qatordagi eng katta elementlarni qaraymiz:
,
Ko'rib
turganimizdek, birinchi matritsada ajratib ko‟rsatilgan elementlar
joylashgan qator nomerlari birinchi o'yinchining bu elementlar ustun raqamlariga
mos keladigan strategiyalariga eng yaxshi javoblar to'plamini tashkil qiladi:
( )
,
( )
,
( )
va
( )
.
Xuddi shunday, ikkinchi o'yinchi uchun, satrlarni ustunlar bilan va aksincha
almashtirilishini hisobga olgan holda ajratib ko‟rsatilgan elementlar joylashgan
ustun nomerlari ikkinchi o'yinchining ushbu elementlarning qator raqamlariga mos
keladigan strategiyalariga eng yaxshi javob to'plamlaridir:
( )
,
( ) * +
,
( )
va
( )
.
Va bu element (uchinchi qator, ikkinchi ustundagi) har
ikkala matrisada ajratib
ko‟rsatilgan bo'lib, u Nesh muvozanatiga mos keladi (
Do'stlaringiz bilan baham: 
