Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Содержание основных разделов (тем) курса

Тема 1. Предварительные сведения
Задачи и программа курса. Место теории локальных полей и групп Брауэра в ряду других математических и прикладных дисциплин. Источники её развития и направления развития. Формы самостоятельной работы студентов по изучению курса. Основная литература к курсу.
Тензорное произведение модулей. Тензорное произведение алгебр. Проективные пределы топологических групп. Проконечные группы, их топологическая характеристика. Построение проконечных групп из абстрактных групп. Проконечные группы в теории полей. Когомологии Галуа. Точная когомологическая последовательность. Ограничение и инфляция. Индуктивные пределы абелевых групп. Дискретные модули. Когомологии проконечных групп. Примеры.
Тема 2. Локальные поля
Абсолютные значения и нормирования. Неархимедово нормирование. Кольцо и идеал нормирования. Поле классов вычетов. n-группы единиц. Полные поля. Процедура пополнения. Теорема Островского. Свойства пополнения. Представление элементов пополнения. Лемма Гензеля. Нормирование расширения. Локальные поля. Логарифмическая и показательная функции. Структура группы единиц локального поля. Неразветвлённые и слаборазветвлённые расширения. Продолжение нормирований. Расширения Галуа локальных полей.
Тема 3. Группы Брауэра
Центрально-простые алгебры над полем. Теорема Веддербёрна. Теорема Сколема – Нётер. Отношение подобия. Группы Брауэра. Отображение ограничения. Поле расщепления алгебры. Относительная группа Брауэра. Примеры. Скрещенное произведение. Связь группы Брауэра с когомологиями Галуа. Случай циклического расширения Галуа. Связь относительной группы Брауэра с отображением нормы.
Тема 4. Группы Брауэра локального и глобального поля, применение в криптографии
Отображение нормы групп единиц локального поля. Вычисление группы Брауэра локального поля. Отображение инвариантов. Группа Брауэра глобального поля. Теорема Хассе – Брауэра – Нётер. Дискретный логарифм в группе единиц конечного поля. Описание подходящей группы Брауэра. Перевод проблемы дискретного логарифмирования в подходящую группу Брауэра.