Математические основы криптографии

12-вариант

1-практическая работа.


Тема: Математические основы криптографии


Цель работы: приобрести теоретические и практические навыки о свойствах взаимно простых чисел и действии модуля, системе счисления, логических действиях.
Задания к практической работе.

№	Свойства модуля	n>0 va a<0 найти b=a mod n	(e*d)modn=1 задана e и n найдите d?	X2- >Y10	X8- >Y10	X16- >Y10
12.	a=52; b=-5; c=5; n=8;	a=-89; n=21;	n=31; e=4;	11111110	2513	CA1

12.1. Свойства модуля

(a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n

(a - b) mod n = ((a mod n) - (b mod n)) mod n
(a · b) mod n = ((a mod n) · (b mod n)) mod n
(a · (b + c)mod n=(((a · b) mod n) + (a · c) mod n)) mod n

(52 + (-5)) mod 8 = ((52 mod 8) + (-5 mod 8)) mod 8 =7

(52 – (-5)) mod 8 = ((52 mod 8) – (-5 mod 8)) mod 8 = 1
(52 · (-5)) mod 8 = ((52 mod 8) · (-5 mod 8)) mod 8 = 4
(52 · (-5 + 5))mod 8 = ((52 mod 8) · (0 mod 8)) mod 8 = (4 · 0) mod 8 = 0
12.2 n>0 va a<0 найти b=a mod n
a = -89; n = 21; a + n = -89 + 21 = -68
b = -68 mod 21 = 19
12.3. (e*d)modn=1 задана e и n найдите d?
n = 31; y = 4;

(d*4)mod31=1; a=31, b=4 тогда множества: U={31, 1, 0}, V={4, 0, 1} и T={31mod4, 1-[31/4]*0, 0-[31/4]*1}={3, 1, -7} следовательно, условие T[1]=1 не выполнено.U=V={4, 0, 1}, V=T={3, 1, -7}, T={4mod3, 0-[4/3]*1, 1-[4/3]*(-7)}={1, -1, 8}. Следовательно, T[1]=1 и d=T[8]=8. Результат: (8*4)mod31=1 d=8

Дробные числа из десятичного в двоичную
12.4. X₂→Y₁₀

Дано: 11111110

(11111110)₂ = (1 × 2⁷) + (1 × 2⁶) + (1× 2⁵) + (1 × 2⁴) + (1 × 2³) + (1 × 2²) + (1 × 2¹) +

+ (0 × 2⁰) = (254)

Отвечать: 254
12.5. X₈→Y₁₀

Дано: 2513

(2513)₈ = (2 × 8³) + (5 × 8²) + (1 × 8¹) + (3× 8⁰) = (1355)₁₀

Отвечать: 1355

12.6. X₁₆→Y₁₀

Дано: CA1

(CA1) = (12 × 16²) + (10 × 16¹) + (1 × 16⁰) = (3233)
Отвечать: 3233
Контрольные вопросы
1) Опишите простые числа, простые числа и приведите примеры.
2) Объясните на примере свойства работы модуля.
3) Целые числа и их использование в криптографии.
Ответы

1. Если наибольший общий делитель чисел a и b равен 1, то есть (a, b) = 1, то числа a и b взаимно просты.

2. 1) Если b = a mod n в уравнении a > n > 0, то для вычисления результата делим a на n и получаем остаток. Например, 12mod5 = 2; 15mod6 = 3;

2) Если n = 0 и a < 0 в уравнении b = a mod n, то n прибавляется к a до тех пор, пока сумма не станет больше нуля. Например, -5mod6 = 1; -12mod5 = 3;

3. Компьютер – это электронное цифровое устройство. Электронным устройством его называют потому, что любая информация обрабатывается электрическими сигналами на компьютере. Причина, по которой он называется цифровым, заключается в том, что любая информация представлена ​​числами. Точнее, любая информация представляется и обрабатывается на компьютере с помощью двух целых чисел и нулей.