Основы теории фильтрации многофазных систем

Рис. 7. Поле характери­стик для уравнения Бак­лея —Леверетта. Рис. 8. График распределения насыщенности при вытеснении жидкости:
— момент образования скачка насыщенности
Рассмотрим отдельно случай кусочно-постоянных начальных данных, когда справедливо условие (39), т. е. начальная насыщенность постоянна во всем пласте при . Тогда, разрешая это начальное распределение относительно , находим
при
и не определено при . В этом случае уравнение (35) имеет особые решения вида
(47)
которые получаются из (46) при .
Характеристики (44), соответствующие этому случаю, представляют собой пучок прямых, сходящихся в одной точке плоскости .По аналогий с газовой динамикой решение (47) называют центрированной вольной разрежения
Дальнейшей построение решения уравнения (35) требует дополнительного анализа так называемых разрывных (обобщенных) решений.
Условия на скачках насыщенности
Положение скачков (разрывов) насыщенности заранее неизвестно и должно быть найдено в зависимости от времени из решения задачи. Оказывается, что значения насыщенности и до и после разрыва соответственно не могут быть произвольными, а связаны друг с другом и скоростью разрыва определенными соотношениями. Несмотря на то что дифференциальное уравнение (35), выражающее баланс массы каждой фазы, в точках образовавшегося разрыва не имеет смысла, сам баланс, естественно, должен выполняться.
Обозначим скорость движения разрыва через D, т. е.
,
где — закон движения скачка насыщенности.
Рассмотрим условия сохранения массы каждой из фаз при прохождении поверхности разрыва через некоторый элемент объема пористой среды (рис. 9), вырезанный в направлении движения фаз, т. е. по нормали к поверхности разрыва. Пусть в некоторый



Рис. 9. Схема к выводу условий на скачке
момент времени разрыв имел координату а через малый промежуток времени переместился в положение . Поток первой фазы через сечение , параллельное плоскости разрыва, за время равен

Условие сохранения массы первой фазы в физической системе координат примет тогда вид

откуда
(48)
где — скорость скачка в системе координат . Уравнение сохранения массы второй фазы также сводится к (48), поскольку суммарная скорость фильтрации w сохраняется.

Учитывая, что в соответствии с (37)

(здесь соответственно для линейного и радиального вытеснения), запишем (48) в виде

Переходя теперь в этом равенстве к переменным по формулам (36), получаем условие на скачке
(49)
Равенство (49) имеет простой геометрический смысл: скорость разрыва D равна тангенсу угла наклона к оси хорды, соединяющей точки кривой , имеющие абсциссы и (см. рис. 4, ), в то время как скорость распространения насыщенности на скачке определяется тангенсом угла наклона касательной к этой же кривой.
Определение положения скачка и насыщенности на скачке
Выведем дифференциальное уравнение, описывающее изменение насыщенности на скачке в зависимости от «времени» . Для насыщенности на скачке (ее называют фронтовой насыщенностью), как и для любого значения , выполняется соотношение (46):
(50)
откуда следует, что , вообще говоря, изменяется с изменением времени т, т. е. .
Дифференцируя (50) по т, находим
(51)
Приравнивая выражения (49) и (51) для скорости скачка насыщенности D, получаем дифференциальное уравнение для определения :
(52)
Здесь осталось еще неизвестным значение насыщенности перед разрывом. Оно определяется из условия пересечения характеристик (44) на разрыве: , так что в соот­ветствии с равенством (46) имеем:
(53)
Рассмотрим так называемый стационарный скачок, по обе стороны которого значения и постоянны. Тогда, , и из (52) находим
(54)
Это условие, полученное впервые в работе Баклея и Леверетта, означает, что скорость распространения скачка D равна скорости распространения насыщенности на скачке, т. е. . Равенство (54) имеет простой геометрический смысл. Оно представляет собой уравнение касательной, проведенной из точки к кри­вой , где — абсцисса точки касания (см. рис. 4). Это дает простой графический способ определения фронтовой насыщенности по известной функции Баклея—Леверетта , который в некоторых случаях может заменить решение трансцендентного уравнения (54).
Рассмотрим теперь случай постоянной начальной насыщенности, соответствующий условию (39): при . В этом случае решение задачи имеет вид (47).
Пусть расположено левее точки перегиба графика функции (см. рис. 4), тогда возникает скачок насыщенности. При этих условиях переменные в уравнении (52) разделяются, и его можно проинтегрировать. Полагая , получим в резуль­тате интегрирования условие (54). Таким образом, если при постоянной начальной насыщенности возникает разрыв, то на разрыве в любой момент времени выполняется условие (54), т. е. в этом случае скачок является стационарным.
Обобщая изложенное, сформулируем теперь задачу об отыскании решений квазилинейного дифференциального уравнения (35) в общем случае. Требуется найти функцию , удовлетворяющую начальному и граничному условиям (38) или (39), непрерывную и удовлетворяющую уравнению (35) в каждой из областей I и II (рис. 10), заполненных непересекающимися характеристиками, и условию (49) на разрыве , связывающему предельные значения и насыщенности и скорости D этого разрыва.
Вообще говоря, к перечисленным условиям необходимо доба­вить еще одно — определяющее так называемую устойчивость разрывного решения. Для устойчивости скачка необходимо, чтобы в любой точке кривой пересекались две характеристики урав­нение (35). При этом любая характеристика, скорость которой. равна скорости скачка D, считается приходящей на скачок. Это условие для класса рассматриваемых задач с кусочно-постоянными данными (39) можно сформулировать следующим образом.
Пусть — прямая на плоскости , соединяющая точки , и . Здесь, как и ранее, —значение насыщенности «до» разрыва (правосторонний предел по отношению к изменению ), а — значение насыщенности «после» разрыва (левосторонний предел); и соответственно (см- рис. 4). Тогда вдоль допустимого разрыва кривая f (а) на интер­вале располагается ниже прямой , если , и выше прямой , если .