Основы теории фильтрации многофазных систем

Рис. 4. Типичные графики функции Баклея- Леверетта и ее производной

Рис. 5. Графики функции Баклея—Леверетта (а) и ее производной (б) для различных отноше­ний вязкостей


Для описания и расчета процесса вытеснения к уравнению (35) нужно добавить начальное и граничное условия
при
при (38)
Первое из условий (38) означает, что в момент времени (до начала процесса вытеснения) в пласте имеется некоторое известное распределение насыщенности вытесняющей фазы, определяемое функцией . Согласно второму условию (38), при в пласт через нагнетательную скважину или галерею, расположенную на «линии» , закачивается вытесняющая жидкость, 212насыщенность которой при меняется со временем по задан­ному закону . В ряде случаев можно считать, что
при
при (39)
Это случай кусочно-постоянных начальных данных, имеющий важное значение для практических приложений. Величина начальной водонасыщенности влияет на процесс заводнения и определяет структуру зоны вытеснения.
Построение решения
Для иллюстрации построения решения уравнения (35) при произвольном начальном распределении насыщенности (38) введем систему координат (рис. 9.6). На плоскости при .

Рис. 6. Схема к построению решения задачи двухфазной фильтрации
изобразим начальное распределение насыщенности в пласте . Задача состоит в построении функции для последующих моментов времени , т. е. требуется рассчитать деформацию во времени начального распределения насыщенности в соответствии с уравнением (35).
Пусть — некоторая линия на плоскости переменных (см. рис. 6). Тогда значения насыщенности вдоль этой линии можно получить по формуле
(40)
Производная по «времени» от насыщенности вдоль этой линии равна
(41)
где есть тангенс угла наклона рассматриваемой линии к оси .
Сравнивая выражение (41) с левой частью уравнения (35), видим, что вдоль линий плоскости , для которых выполняется равенство.
(42)
производная равна нулю, т. е.
(43)
вдоль линий , определяемых из (42). Это означает, что насыщенность остается постоянной вдоль этих линий. Итак, если кривая удовлетворяет уравнению (42), то значения насыщенности на этой кривой не меняются. Если рассматриваемая кривая выходит из начальной точки , то значение на этой кривой остается равным начальному значению (см. рис. 6). Таким образом, кривые , удовлетворяющие уравнению (42), являются траекториями распространения постоянных значений насыщенности. В рассматриваемом случае эти траектории легко определяются. Действительно, поскольку вдоль каждой кривой , то остается постоянной вдоль этой кривой и величина , Тогда в результате интегрирования уравнения (42) находим

(здесь С — константа интегрирования), т. е. линии являются прямыми. Если прямые выходят из начальных точек , то при , т. е. , и окончательно можно записать
(44)
Тангенс угла наклона этих прямых к оси т равен , т. е. зависит от насыщенности в точке .
Прямые линии (44), на которых насыщенность сохраняет постоянное значение, называются характеристиками уравнения, а система обыкновенных дифференциальных уравнений, (43) — характеристической системой для уравнения в частных производных (35).
Теперь можно построить решение уравнения (35) при начальном условии (38). Пусть — произвольная точка плоскости (см. рис. 6). Тогда имеем:

где , и связаны уравнением (44). Исключая отсюда , на­ходим
. (45)
Формула (45) дает неявное выражение насыщенности через переменные и .
Это выражение можно представить в другой форме, если считать, что в равенстве (44) есть начальное распределение насыщенности в неявной форме, т. е. первое равенство (38) разрешенное относительно . Тогда решение (45) можно представить в виде
. (46)
Физической особенностью модели двухфазного вытеснения Баклея—Леверетта является зависимость скорости распространения того или иного значения насыщенности от величины этой насыщенности. Это явление называется дисперсией волн. Действительно, в формуле (42) правая часть зависит от . Эта зависимость изображена на рис. 4, из которого видно, что при большие насыщенности распространяются с большими скоростями ( возрастает), а при скорость распространения постоянного значения насыщенности начинает уменьшаться ( убывает).
Из начального распределения , изображенного на рис. 6, видно, что с течением времени наклон профиля распределения насыщенности (45) становится круче, поскольку большие значения насыщенности «догоняют» меньшие значения. Поэтому характеристики (44), несущие различные значения насыщенности, могут в некоторый момент пересечься, и решение (45) становится неоднозначным. Поле характеристик (44) для этого случая и деформация профиля насыщенности с течением времени в плоскости показаны соответственно на рис. 7, 8. Произошло «опрокидывание» волны насыщенности и возник разрыв (скачок) непрерывности функции . Начиная с момента , когда касательная к кривой становится вертикальной (см. рис. 8), возникает и распространяется скачок насыщенности ( — положение скачка для последующего момента времени). С момента график становится в некоторой своей части неоднозначным, что показано участком кривой 1—2—3—4—5 на рис. 8. В зоне этого участка одному и тому же значению 1 соот­ветствуют три значения насыщенности , и , что физически абсурдно, так как в каждом сечении пласта в каждый момент времени может существовать только одна вполне определенная насыщенность. Такая неоднозначность и устраняется введением скачка насыщенности (на рис. 8 величина скачка определяется отрезком 1—3—5).
Подчеркнем, что условием образования разрыва является пересечение характеристик (44). В области, где характеристики не пересекаются, решение непрерывно и определяется формулой (45).