O'qish vaqti: 33 daqiqa

4-ma'ruza.
Funksiyalarning uzluksizligi
1. Funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi
Ta'rif 1. Funktsiyaga ruxsat bering y=f(x) nuqtada aniqlanadi NS 0 va bu nuqtaning ba'zi mahallalarida. Funktsiya y=f(x) deyiladi x nuqtada uzluksiz 0 , agar bu nuqtada funktsiyaning chegarasi mavjud bo'lsa va u ushbu nuqtadagi funktsiya qiymatiga teng bo'lsa, ya'ni.
 Shunday qilib, funksiya uchun uzluksizlik sharti y=f(x) nuqtada NS 0 bu:


Chunki
, keyin tenglikni (32) shaklida yozish mumkin
(33)
 Bu shuni anglatadiki, uchun uzluksiz funksiya chegarasini topishf(x) funktsiya belgisi ostidagi chegaraga o'tishingiz mumkin, ya'ni. funktsiyaga f(x) argument o‘rniga NS uning chegarasini almashtiring NS 0 .
lim gunoh x= gunoh (lim x);
lim arctg x= arctg (lim x); (34)
lim log x= log (lim x).
Mashq qilish. Chegarani toping: 1); 2)
.
Argument va funktsiya o'sishi tushunchalariga asoslanib, funksiya uzluksizligiga ta'rif beramiz.

Chunki sharoitlar va
bir xil bo'lsa (4-rasm), u holda tenglik (32) shaklni oladi:
yoki
.
Ta'rif 2. Funktsiya y=f(x) deyiladi x nuqtada uzluksiz 0 , agar u nuqtada aniqlangan bo'lsa NS 0 va uning atrofi va argumentning cheksiz kichik o'sishi funktsiyaning cheksiz kichik o'sishiga mos keladi.
Mashq qilish. Funksiyaning uzluksizligini tekshirish y=2NS 2 1.
Bir nuqtada uzluksiz bo'lgan funksiyalarning xossalari
1. Agar funktsiyalari f(x) va φ (x) nuqtada uzluksizdir NS 0, keyin ularning yig'indisi
, ish
va xususiy
(shartiga ko'ra
) nuqtada uzluksiz funksiyalardir NS 0 .
2. Agar funktsiya da=f(x) nuqtada uzluksizdir NS 0 va f(x 0)> 0 bo'lsa, nuqtaning qo'shnisi mavjud NS 0 unda f(x)>0.
3. Agar funktsiya da=f(u) u 0 nuqtada uzluksiz va u = funksiya φ (x) nuqtada uzluksizdir u 0 = φ (x 0 ), keyin kompleks funksiya y=f[φ (x)] nuqtada uzluksiz NS 0 .