|
Ta'rif... Funktsiya f (x) nuqtada uzluksiz deb ataladi a funktsiya bo'lsa f (x) nuqtaga ega a chegara va bu chegara muayyan qiymatga teng f (a) funktsiyalari f (x) nuqtada a.
Ushbu ta'rifdan biz quyidagilarni olamiz funksiya uzluksizligi sharti f (x) nuqtada a :
O'shandan beri biz yozishimiz mumkin
Shuning uchun, nuqtada uzluksiz uchun a funksiya chegarasi belgisi va belgisi f funksiyaning xarakteristikalari almashtirilishi mumkin.
Ta'rif... Funktsiya f (x) nuqtada o'ngda (chapda) uzluksiz deyiladi a nuqtada bu funksiyaning o'ng (chap) chegarasi bo'lsa a mavjud va xususiy qiymatga teng f (a) funktsiyalari f (x) nuqtada a.
Haqiqat shundaki, funktsiya f (x) nuqtada uzluksiz a o'ng tomonda shunday yozilgan:
Va funksiyaning uzluksizligi f (x) nuqtada a chap tomonda shunday yozilgan:
Izoh... Funksiya uzluksizlik xususiyatiga ega bo‘lmagan nuqtalar bu funksiyaning uzilish nuqtalari deyiladi.
Teorema... Funktsiyalarga ruxsat bering f (x) va g (x) nuqtada uzluksiz a... Keyin funktsiyalar f (x) + g (x), f (x) -g (x), f (x) g (x) va f (x) / g (x)- nuqtada uzluksiz a(xususiy bo'lsa, qo'shimcha talab qilish kerak g (a) ≠ 0).
Asosiy elementar funksiyalarning uzluksizligi
1) Quvvat funktsiyasi y = x n tabiiy holda n butun sonlar qatorida uzluksizdir.
Birinchidan, funktsiyani ko'rib chiqing f (x) = x... Funktsiyaning nuqtadagi chegarasining birinchi ta'rifiga ko'ra a har qanday ketma-ketlikni oling (x n) ga yaqinlashish a, keyin funktsiyalar qiymatlarining mos keladigan ketma-ketligi (f (x n) = x n) ga ham yaqinlashadi a, ya'ni , ya'ni funksiya f (x) = x raqamlar chizig'ining istalgan nuqtasida uzluksiz.
Endi funktsiyani ko'rib chiqing f (x) = x n, qayerda n u natural sondir f (x) = x x… x... Keling, chegaraga o'tamiz x → a, ya’ni funksiyani olamiz f (x) = x n sonlar qatorida uzluksizdir.
2) Eksponensial funksiya.
Eksponensial funktsiya y = a x da a> 1 cheksiz to‘g‘ri chiziqning istalgan nuqtasida uzluksiz funksiyadir.
Eksponensial funktsiya y = a x da a> 1 shartlarga javob beradi:
3) Logarifmik funksiya.
Logarifmik funktsiya uzluksiz va butun yarim chiziq bo'ylab ortadi x> 0 da a> 1 va uzluksiz va butun yarim chiziq bo'ylab kamayadi x> 0 da 0, va
4) Giperbolik funksiyalar.
Quyidagi funktsiyalar giperbolik funktsiyalar deb ataladi:
Giperbolik funksiyalarning ta’rifidan kelib chiqadiki, giperbolik kosinus, giperbolik sinus va giperbolik tangens butun son o‘qi bo‘yicha, giperbolik kotangens esa nuqtadan tashqari hamma joyda son o‘qida aniqlanadi. x = 0.
Giperbolik funksiyalar o‘z sohasining har bir nuqtasida uzluksiz bo‘ladi (bu ko‘rsatkichli funksiya va arifmetik amallar haqidagi teoremaning uzluksizligidan kelib chiqadi).
5) Quvvat funksiyasi
Quvvat funktsiyasi y = x a = a a log a x ochiq yarim chiziqning har bir nuqtasida uzluksiz x> 0.
6) Trigonometrik funksiyalar.
Funksiyalar gunoh x va chunki x har bir nuqtada uzluksiz x cheksiz to'g'ri chiziq. Funktsiya y = tg x (kp-p / 2, kp + p / 2) va funksiya y = ctg x intervallarning har birida uzluksiz ((k-1) p, kp)(bu erda hamma joyda k- har qanday butun son, ya'ni. k = 0, ± 1, ± 2, ...).
7) Teskari trigonometrik funksiyalar.
Funksiyalar y = arcsin x va y = arccos x segmentda uzluksiz [-1, 1] ... Funksiyalar y = arktan x va y = arcctg x cheksiz chiziqda uzluksizdir.
Ikki ajoyib chegara
Teorema... Funktsiya chegarasi (sin x) / x nuqtada x = 0 mavjud va bittaga teng, ya'ni.
Bu chegara deyiladi birinchi ajoyib chegara.
Isbot... Da 0 tengsizliklar haqiqatdir 0<\sin x... Biz bu tengsizliklarni quyidagicha ajratamiz gunoh x, keyin olamiz
Bu tengsizliklar qiymatlar uchun ham amal qiladi x shartlarni qondirish -p / 2 ... Bu shundan kelib chiqadi cos x = cos (-x) va ... Chunki chunki x u holda uzluksiz funksiyadir ... Shunday qilib, funktsiyalar uchun chunki x, 1 va ba'zilarida δ - punktning mahallasi x = 0 teoremalarning barcha shartlari bajariladi. Demak, .
Teorema... Funktsiya chegarasi da x → ∞ mavjud va songa teng e:
Bu chegara deyiladi ikkinchi ajoyib chegara.
Izoh... Bu ham haqiqat
Murakkab funktsiyaning uzluksizligi
Teorema... Funktsiyaga ruxsat bering x = ph (t) nuqtada uzluksiz a va funksiya y = f (x) nuqtada uzluksiz b = ph (a)... Keyin murakkab funktsiya y = f [ph (t)] = F (t) nuqtada uzluksiz a.
Bo'lsin x = ph (t) va y = f (x) eng oddiy elementar funksiyalar va qiymatlar to‘plamidir (x) funktsiyalari x = ph (t) funksiya doirasi hisoblanadi y = f (x)... Ma'lumki, elementar funktsiyalar vazifa sohasining har bir nuqtasida uzluksizdir. Shuning uchun, oldingi teoremaga ko'ra, kompleks funktsiya y = f (ph (t)), ya'ni ikkita elementar funksiyaning superpozitsiyasi uzluksizdir. Masalan, funksiya istalgan nuqtada uzluksizdir x ≠ 0 ikki elementar funksiyaning kompleks funksiyasi sifatida x = t -1 va y = sin x... Shuningdek, funksiya y = ln sin x oraliqlarning istalgan nuqtasida uzluksiz (2kp, (2k + 1) p), k ∈ Z (sin x> 0).
Do'stlaringiz bilan baham: |
