Определенный интеграл

9.11. Объем тела вращения
Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, является непрерывной функцией на отрезке , то объем тела вычисляется по формуле:
. (9.16)
Выражение для функции получается достаточно просто в случае тел вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой , вращается вокруг оси Ox или оси Oy, то объемы тел вращения вычисляются по формулам:
или . (9.17)
Если криволинейный сектор, ограниченный кривой и лучами , , вращается вокруг полярной оси, то объем тела вращения равен:
. (9.18)
Отметим, что объемы тел значительно проще вычисляются при помощи кратных интегралов.
Пример 15. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной а) линиями вокруг оси Oy; б) кардиоидой вокруг полярной оси.
Решение. а) Используя формулу (9.17),
найдем объем данного тела (рис. 9.17):
(ед.³)
б ) Используя формулу (9.18), найдем объем данного тела (рис. 9.18):

.

9.12. Физические приложения.

Вычисление работы с помощью определенного интеграла

Работа, совершаемая переменной силой F(x) при перемещении материальной точки вдоль оси Ox, равна

. (9.19)
Рассмотрим пример нахождения работы, которую необходимо затратить, чтобы выкачать жидкость плотности  из резервуара, имеющего вид тела вращения, получающегося при вращении криволинейной трапеции вокруг оси Oy.
Пусть криволинейная трапеция в плоскости переменных ограничена линиямиx=f(y)>0, y=0, y=H, x=0. Элемент объема тела вращения равен ,
элемент веса равен .
Умножая элемент веса на (H–y_i) – высоту, на которую нужно поднять соответствующий вес при выкачивании жидкости – получим элемент работы:
.
Тогда работа по выкачиванию жидкости равна определенному интегралу по отрезку [0;H] :
. (9.20)
Пример 16. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать жидкость плотности  из резервуара, имеющего форму:
а) конуса вращения с вершиной, обращенной вниз и совпадающей с началом координат, высота которого H, а радиус основания R;
б) полусферы, обращенной выпуклостью вниз, радиус основания которой равен R;
в) цилиндра высоты H и радиуса основания R.