Определенный интеграл


Пример 3. Вычислить интегралы а) , б) . Решение



Download 3,16 Mb.
bet3/7
Sana06.02.2023
Hajmi3,16 Mb.
#908377
1   2   3   4   5   6   7
Bog'liq
9 ОПРЕДЕЛЕ

Пример 3. Вычислить интегралы
а) , б) .
Решение. а) Воспользуемся формулой (9.6) интегрирования по частям, для этого положим u=x, dv=exdx, откуда du=dx, v=–ex. Тогда
.
б) Применяя формулу интегрирования по частям, получим

.


9.6. Вычисление площадей плоских фигур





Рис. 9.1.
Напомним геометрический смысл определенного интеграла
.
Если f(x)0, то определенный интеграл есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), прямыми x=a и x=b, а также осью Ox. Если же функция f(x) 0, то определенный интеграл будет меньше нуля. Знак минус означает, что криволинейная трапеция расположена ниже оси Ox и ее площадь будет равна S= . Может оказаться, что функция f(x) на отрезке интегрирования несколько раз меняет знак. В этом случае интеграл нужно разбить на сумму интегралов по участкам, на которых подынтегральная функция имеет постоянный знак. Например, площадь фигуры на рис. 9.1 будет иметь вид
S= .
Пример 4. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
а) y=sinx, y=0, 0x2; б) y=x–x2, y=0, 0x2.


Рис. 9.2
Решение. а) Сделаем чертеж (см.
рис. 9.2). Так как при 0x sinx0 и при x2 sinx0, то
(кв. ед.)





Рис. 9.3

б) Сделаем чертеж (см. рис. 9.3). Найдем точки пересечения параболы с осью Ox:



Из рисунка видно, что
(кв. ед.)





Рис. 9.4
Пусть плоская фигура на отрезке [a,b] ограничена графиками двух функций y=f1(x) и y=f2(x), причем f2(x)f1(x) (см. рис. 9.4). Тогда искомая площадь вычисляется по формуле:
. (9.7)



Рис. 9.5
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x–x2, y=–x.
Решение. Сделаем чертеж (см. рис. 9.5). Найдем точки пересечения параболы и прямой:

Поскольку на отрезке [0;2] xx2  –x, то площадь заданной фигуры будет равна
.
Пример 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=–x2, y=x–2, y=0.



Рис. 9.6
Решение. Из чертежа (см. рис. 9.6) видно, что искомую площадь S фигуры OAB можно рассматривать как площадь над кривой OAB на отрезке [0;2]. Однако указанная кривая (ломаная) не задается одним уравнением. Поэтому для нахождения искомой площади разобьем фигуру OAB на две части: OAC и ACB. Найдем абсциссу точки A:



Таким образом, точка A имеет координаты (1;–1). После этого находим площадь заданной фигуры:
(кв.ед.).



Рис. 9.7
Заметим, что криволинейная трапеция может образовываться графиком функции также и с осью Oy (см. рис. 9.7). Тогда площадь такой криволинейной трапеции можно записать в виде
. (9.8)
Такой случай следует иметь ввиду, поскольку это может сильно сократить вычисления.
В частности, последний пример можно решить относительно оси Oy (переменной y). В этом случае фигура OAB будет ограничена снизу кривой , а сверху – прямой x2=y+2. В результате, площадь фигуры будет вычисляться следующим образом:
(кв.ед.)



Рис. 9.8
Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами:
y2=2x и y2=6x (см. рис. 9.8).
Решение. Будем искать площадь данной фигуры относительно оси Oy. Ординаты точек пересечения линий равны y1=–2 и y2=2. Следовательно,
(кв. ед.)

9.7. Параметрические функции


Пусть верхняя граница криволинейной трапеции задана параметрическими уравнениями: x=x(t), y=y(t), t1t t2, причем x(t1)=a, x(t2)=b. Поскольку площадь криволинейной трапеции задается формулой S= (если y(x)0 на отрезке [a,b]), то, производя замену переменной, получим формулу для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрически:
(9.9)
Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом ( рис. 9.9):



Рис. 9.9
.
Решение. Вычислим площадь верхней половины эллипса, а затем результат удвоим. Здесь x меняется от –a до a, следовательно, t должно изменяться от до 0. Таким образом,
.
Пример 9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Oy и одной аркой циклоиды (см. рис. 9.10):



Рис. 9.10
Решение. Для получения одной арки циклоиды, достаточно чтобы t изменялось от 0 до 2. Тогда по формуле (9.9) получим

Пример 10. Вычислить площадь петли кривой (см. рис. 9.11):



Рис. 9.11

Решение. Кривая пересекается с осью Ox в двух точках: x1= –a и x2=3a при t1=0 и t2,3=2. Площадь петли находим как удвоенную площадь верхней ее половины:
.
9.8. Полярная система координат
Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением: =(), , причем функция () непрерывна и неотрицательна на отрезке []. Плоскую фигуру, ограниченную кривой () и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы и , будем называть криволинейным сектором (рис.9.12).



Рис. 9.12

Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле:
. (9.10)
Пример 11. Вычислить площадь ограниченной: а) лемнискатой Бернулли 2=a2cos2 ; б) трехлепестковой розой =acos3.
Решение. а) Поскольку 20, то cos20. Отсюда получаем
,



Рис. 9.13
где kZ. Таким образом, данная кривая расположена в двух секторах (см. рис. 9.13). Для нахождения искомой площади достаточно вычислить четверть площади, а затем умножить ее на 4. Воспользуемся формулой 9.10 :

.
б) Поскольку 0, то cos30. Тогда получаем:
,


Рис. 9.14
где kZ. Таким образом, данная кривая будет расположена в трех секторах (см. рис. 9.14). Для нахождения искомой площади достаточно вычислить площадь половины одного "лепестка" и умножить ее на 6:
.

9.9. Вычисление длины дуги плоской кривой


Если кривая на отрезке [a; b] – гладкая (т.е. производная – непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле:
. (9.11)
При параметрическом задании кривой (здесь – непрерывно дифференцируемые функции) длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от t1 до t2, вычисляется по формуле:
. (9.12)
Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением , , то длина дуги равна:
. (9.13)
Пример 13. Найти длину кардиоиды (рис. 9.15).
Решение. Найдем производную :
.Подставляя в формулу (9.13) получим:

.


9.10. Вычисление площади поверхности вращения


Пусть функция f(x) неотрицательна и непрерывна вместе со своей производной на отрезке [a,b]. Тогда площадь поверхности, образованная вращением графика этой функции вокруг оси Ox, будет вычисляться по формуле:
. (9.14)
Пример 14. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox: а) отрезка прямой ; б) одной арки синусоиды y=sin x ; в) одной арки циклоиды x=a(t–sint), y=a(1–cost) ; г) параболы y2=2px, 0xa; д) дуги окружности x2+y2=R2.
Р ешение. а) Вычислим площадь поверхности, полученной вращением отрезка прямой вокруг оси Ox (рис. 9.16). Найдем производную: . Подставляя в формулу (9.14) получим:
.
б) Согласно формуле (9.14), получим


(ед.кв.).
Замечание. При вычислении интеграла было использовано свойство 4 определенного интеграла (см. 9.2) и табличный интеграл (отметим, что этот интеграл можно было найти и методом интегрирования по частям).
в) В параметрической форме формулу (9.14) можно записать в следующем виде:
. (9.15)
Тогда площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды вокруг оси Ox, будет равна

.
г) Поскольку , , , то по формуле (9.14) получим

д) Пусть дуга окружности с центром в начале координат и радиусом R вращается вокруг оси Ox. Из уравнения окружности x2+y2=R2 имеем y2=R2–x2, yy= –x, значит
.
Таким образом, площадь сферы S=4R2.



Download 3,16 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish