Приложения определенного интеграла. Вычисление объема и площади поверхности тела вращения

На Тему: Приложения определенного интеграла. Вычисление объема и площади поверхности тела вращения.

План:

1. 
   Рассмотрим некую плоскую фигуру, которая задана в ПДСК.
   
2. 
   Рассмотрим на некотором промежутке [a,b] неотрицательную функцию y=y(x), которая также является непрерывной на этом отрезке
   
3. 
   Этой функцией образуется криволинейная трапеция
   

Рассмотрим некую плоскую фигуру, которая задана в ПДСК. Фигура имеет ограничение кривой y=y1(x)сверху, а снизу −y=y2(x). Левая и правая её части ограничены прямыми, которые направлены вертикально и описываются уравнениями x=a и x=b. Площадь такой фигуры, которая задана описанным выше способом, может быть вычислена с использованием определенного интеграла по формуле S=∫ab(y1(x)−y2(x))⋅dx. В случае же ограничения плоской фигуры справа и слева некими кривыми, которые можно описать уравнениями и x=x1(y)иx=x2(y)прямыми, проходящими горизонтально сверху и снизу y=c и y=d, её площадь также может быть вычислена при помощи двойного интеграла, но уже с использованием формулы S=∫cd(x1(y)−x2(y))⋅dy
Если для представления плоской фигуры используется криволинейный сектор и она рассмотрена в полярной системе координат, задать её пределы можно уравнением ρ=ρ(ϕ) и двумя ограничивающими лучами, которые будут проходить по следующим углам ϕ=α и ϕ=β. Тогда площадь описанного криволинейного сектора может быть вычислена с помощью нахождения определенного интеграла и использования формулы 
При помощи определенного интеграла возможно посчитать значение длины дуги кривой, которая в полярной системе координат на отрезке [α,β] задается уравнением ρ=ρ(ϕ). Эта величина вычисляется по формуле L=∫αβρ2(ϕ)+ρ2(ϕ)⋅dϕ
При помощи определенного интеграла возможно посчитать значение длины дуги кривой, которая в ПДСК на отрезке [a,b]задается уравнением y=y(x). Эта величина вычисляется по формуле L=∫ab1+y2(x)⋅dx
При помощи определенного интеграла возможно посчитать значение длины дуги кривой, которая в ПДСК на отрезке [a,b] задается уравнениями x=x(t),y=y(t)параметрически. Эта величина вычисляется по формуле 
Рассмотрим на некотором промежутке [a,b] неотрицательную функцию y=y(x), которая также является непрерывной на этом отрезке. Она будет образовывать криволинейную трапецию. В процессе её вращения вокруг одной из осей, например, Ох, можно получить тело, которое называется – тело вращения.
Проведение вычислений такого типа будет частным вариантом формулы рассмотренной выше. Тогда формула, используемая для этого частного случая, будет выглядеть так V=∫abS(x)⋅dx=π⋅∫aby2(x)⋅dx
Рассмотрим некоторую плоскую фигуру, которая в ПДСК хОу ограничена сверху кривой y=y1(x), в нижней части y=y2(x), а функции и y1(x)⁡иy2(x)являются неотрицательными и непрерывными. Также она имеет вертикальные ограничения по прямым x=a и x=b. В таком случае можно вычислить с использованием определенного интеграла объем образованного при вращении тела при помощи
V=∫abS(x)⋅dx=π⋅∫aby2(x)⋅dx
Изменяя ориентацию ограничений, можно получить другую формулу для вычисления объема, если рассмотреть ограничения y=c и y=d. Если вращать эту фигуру вокруг оси Оу, то при помощи определенного интеграла вычислим объем Пусть на [a,b],задается функция y=y(x), которая принимает неотрицательные значения, с непрерывной производной y′(x).
Этой функцией образуется криволинейная трапеция. Если проводить вращение криволинейной трапеции вокруг Ох, то будет образовано тело вращения, дугой криволинейной трапеции образуется поверхность.
Формула Q=2⋅π⋅∫aby(x)⋅1+y2(x)⋅dx будет использоваться для вычисления площади поверхности такого тела.
Если кривую принимающую неотрицательные значения x=ϕ(y), для которой ϕ(y)определена для значений у c≤y≤d, вращать вокруг Оу, то площадь её поверхности вычисляется с использование определенного интеграла по формуле Q=2⋅π⋅∫cdϕ(y)⋅1+ϕ2(y)⋅dy
Физические приложения ОИ
Можно вычислить пройденный путь в t=T для тела, которое имеет переменную скорость, которая определяется по формуле v=v(t), если известно время, которое характеризует момент начала движения t=t0. Это можно выполнить по формуле S=∫t0Tv(t)⋅dt с использованием определенного интеграла.
Вычисление значения работы, которую будет выполнять переменная сила F=F(x), которую приложили к некой материальной точке, которая перемещается вдоль Ох от x=a до x=b, также может быть использован определенный интеграл. При этом применима формула  A=∫abF(x)⋅dx. Важно, что направление, вдоль которого будет действовать сила, будет совпадать с направлением оси. Если задана материальная кривая y=y(x) на отрезке [a,b], то статические моменты можно вычислить по формулам  Mx=ρ⋅∫aby(x)⋅1+y2(x)⋅dxnMy=ρ⋅∫abx⋅1+y2(x)⋅dx, при учете, что ρ – это постоянная величина. С помощью определенного интеграла вычисляют координаты центра масс для некой материальной кривой. Это выполняют по формуле  xC=∫abx⋅1+y2(x)⋅dx∫ab1+y2(x)⋅dx и  yC=∫aby(x)⋅1+y2(x)⋅dx∫ab1+y2(x)dx Если плоская фигура имеет вид криволинейной трапеции с ограничивающей функцией y=y(x) на отрезке [a,b], то координаты центра масс вычислить возможно так:  xC=∫abx⋅y(x)⋅dx∫aby(x)⋅dx и