Operatsion hisob va uning ba'zi tadbiqlari. Laplas almashtirishlari va uning hossalari

Uzluksiz f(t) funksiyaning tasvirlar jadvali.

t/r	F(p)	F(t)
1	1	G ` (t)
2		G(t)
3		e^-at
4		a^t
5		t
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28

Misol yechish na’munalari:

1. 
   Xevisaydning birlik funksiyasi berilgan:
   

Laplas almashtirishlaridan foydalanib, tasvirni toping.


Yechish: Rep>o bo’lganda,

Shunday qilib,

2.

Tasvir topilsin.


Yechish:

Shunday qilib,
Bu yerda yozilgan G(t) ko’paytma f(t) funksiyani t<0 qiymatlarini “o’chiradi” (nolga aylantiradi). Shuning uchun t<0 da f(t)=0 shartin birlik funksiya G(t) ga ko’paytirilgan deb faraz qilamiz. Masalan: G(t) tⁿ, G(t)e^at, va hakazo. Biz G(t) ni tushirib qoldiramiz.

3. e^at funksiyaning tasviri dan foydalanib, funksiyalarning tasviri topilsin.

4. f(t)=4-5e^2t originalning tasviri topilsin.
Yechish:

5. f(t)=3t³e^-t+2t²-1 originalning tasviri topilsin.

Yechish:




Natija:
Mustaqil yechish uchun misollar:



Funksiyaning tasviriga ko’ra uning uning originalini toppish.
Funksiyaning tasviri berilgan bo’lsa, uning originalini tasvirlar jadvalidan foydalanib, tasvir kasr ratsional funksiyalar bo’lsa eng soda kasrlarga yoyishdan foydalanib, originallarni toppish mumkin.

1. 
   Agar F(p) tasvirni quyidagi qator ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa,
   

u vaqtda f(t) original ga teng bo’ladi. Buni birinchi yozish teoremasi deyiladi.
2. Agar tasvir
Bu yerda p_1, p₂ … p_n polinomning karrali bo’lmagan ildizlari. Bunda ikkinchi yoyish teoremasi deyiladi.

3. Agar tasvir bo’lib, maxrajdagi polinomning ildizlari m₁, m₂ … m_n karrali bo’lsa, bo’ladi.

4. tasvirda p_1, p₂ … p_n lar oddiy yoki karrali qutblar bo’lsa, original chegirma orqali toppiladi:

5. Agar F(p) yarim tekislik Res>s₀ da analitik va xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lsa, Riman-Mellin formulasi o’rinli bo’ladi.

Misol yechish na’munalari:
1. tasvirning originali topilsin.
Yechish:

2. tasvirning originali topilsin.

Yechish:

3. tasvirning originali topilsin.

Yechish:



Mustaqil yechish uchun misollar:



Oddiy deferensial va integral tenglamalarni operatsion hisob usuli yordamida yechish .

O’zgarmas koeffisentli chiziqli differensial tenglama

(1)
Berilgan bo’lib, funksiyalar original bo’lsinlar. berilgan shartlarda xususiy yechimlarini topamiz.

F(t)=f(t) larni (1) tenglamaga qo’yib, hususiy yechimni tasvirda olamiz

Bu yerda A(p) va B(p) ma’lum bo’lgan ko’phadlar bo’lib, F(p) esa f(t) berilgan funksiyaning tasviridir.


Misol yechish na’munalari:
1. x```(t)+4x`(t)=1 tenglamaning x(0)=x`(0)=x``(0)=0 boshlang’ich shartlarini qanoatlantiruvchi xususiy yechimi topilsin.
Yechish:
larni va 1=1/p ni berilgan differensial tenglamaga qo’yamiz: bundan tasvirdagi yechim hosil bo’ladi. Endi jadvaldan foydalanib, originalga o’tamiz

2. tenglamaning boshlang’ich shartlarida xususiy yechimini toping.

Yechish:

Larni tenglamaga qo’yamiz, u vaqtda
. Bu vaqtda tasvirni topamiz va jadvaldan foydalanib, siljish teoremasini qo’llab, originalni topamiz

3. integral tenglama yechilsin.

Yechish:
bo’ladi. Tenglamani tasvirda topamiz. bo’ladi. Endi originalga o’tsak, y(t)=e^t ekanligi kelib chiqadi.


Mustaqil yechish uchun misollar: