Operatsion hisob va uning ba'zi tadbiqlari. Laplas almashtirishlari va uning hossalari

Operatsion hisob va uning ba'zi tadbiqlari.
Laplas almashtirishlari va uning hossalari

Agar haqiqiy o’zgaruvchi f`(t) funksiya uchun quyidagi shartlar bajarilsa:

1. 
   t<0 bo’lganda, f(t)=0 bo’lsa;
   
2. 
   Shunday M>0, S>0 o’zgarmas sonlar mavjud bo’lsaki va |f(t)|st bo’lsa;
   
3. 
   Fff(t) bo’lakli uzluksiz, ya’ni chekli intervalda chekli sondagi birinchi tur uzilish nuqtalariga ega bo’lsa, u vaqtda quyidagi hosmas integralga Laplas almashtirishi deyiladi va bunday yoqiladi:
   

F(p) funksiya f(t) funksiyaning Laplas tasviri, yoki L tasviri, yoki qisqacha tasvir deb ataladi. f(t) funksiya esa boshlang’ich funksiya, yoki original deb ataladi va bunday yoziladi:

(bunda Rep>s₀ deb faraz qilinadi).


Asosiy hossalari

1. 
   Tasvirning chiziqlik hossasi.
   

Ixtiyoriy c_k (k=1,2,...n) o’zgarmas sonlar uchun quyidagi tenglik o’rinli

2. 
   Original argumentini musbat songa ko’paytirish xossasi (o’xshashlik teoremasi).
   

Har qanday o’zgarmas musbat a>o son uchun quyidagi tenglik o’rinli

3. 
   Original argumentni musbat vaqt ga kechikish xossasi (kechikish teoremasi). Agat original ga kechiksa, tasvir ga ko’paytiriladi, ya’ni
   

4. 
   Tasvirning kechikish hossasi (siljish teoremasi). Agar original ga ko’paytirilsa, tasvir a ga kechikadi, ya’ni
   

5. 
   Original differenalash hossasi. Agar f(t) va uning hosilalari f^k(t) original (k=1,2,…n) bo’lsalar
   

f^(k)(t)=p^kF(p)-p^k-1f(0)-p^k-2f `(0)-…-f<sup>(k-1)</sup>(0)
Bo’ladi. Hususan
f ` (t)=pF(p)-f(0) bo’ladi.

6. 
   Original integrallash hossasi
   

7. 
   Tasvirni differensiyallash hossasi. Tasvirni argument p bo’yicha differensiyalasak, original –t ga ko’paytiriladi, ya’ni
   

8. 
   Tasvirni integrallash hossasi
   

9. 
   Tasvirlashni ko’paytirish hossasi (Borel teoremasi). Agar f(t)=F(p) va g(t)=G(p) bo’lsa,
   

bo’ladi. Simvol f(t) va g(t) funksiyalarni kompozitsiyasi (o’ramasi) deb ataladi.

10. 
    Doamel integrali. Agar f(t)=F(p) va g(t)=G(p) bo’lsa, bo’ladi. Bu yerda