Oliy va o’rta maxsus ta`lim vazirligi

Kurs ishining maqsadi sifatida magistirlik desrtatsiyasi bo’yicha o’rganilgan adabiyotlar va bajarilgan birlamchi ishlarni jamlash deb belgilab oldik.
Kurs ishining vazifasi qilib nomerov algaritmini o’rganish; radial shredinger tenglamasini yechish; phyistem paketlaridan foydalanish fortran dasturlash tili orqali sochilish va bog’lanish masalalalarini yechish.
Kurs ishini tuzishda 1 maqola, 1 websayt, fortran dasturlash tilida yozilgan dastur va bir nechta o’quv adabiyotlaridan foydalanildi.

IKKI JISM MASALASI

Bir biri bilan ta’sirlasjuvchi ikki jism haqidagi kvant masalasini mantiqan analogik bir jism haqidagi topshiriqqa o’zgartirish mumkin. Ikkta _{ } va _{ } massali jismlar sistemasini massa markazi sistemasiga o’tkazib o’rganish bir muncha sodaroq klassik ko’rinish oladi. O massalar markazi sistemasining nol nuqtasi. _{ } m massali jismning O nuqtaga nisbatan radius vektori, _{ } M massali jismning O nuqtaga nisbatan radius vektori. _{ } ta’sir masofa vektori.
_{ }-_{ } dan _{ }+_{ } ko’rinishga keltirish mumkin. Agar massalar markazining harakatini _{ } bilan belgilasak bizga ma’lum bo’lgan nazariy mexanika kursidagi quydagi formulani olish mumkin [1].
(1)
R masogada joylashgan, _{ } potensial qonuni bilan ta’sirlashuvchi ikki jism uchun Gamilton operatorini quydagi ko’rinishda yozish mumkin.
(2)
Bu yerda Laplas operatori, oddiy hisoblashlardan so’ng (2) formulani quydagi ko’rinishda yozish mumki:
(3)
Laplas operatori R va r kompanentalar bo’yicha; m₁+m₂ – sistemaning umumiy massasi; m esa keltirilgan massa ( ).
Markaziy maydonda harakatlanayotgan zarracha uchun to’lqin funksiyalarini
_{ } va _{ };r2) deb olib, markaziy amydon potensialini _{ } deb belgilasak. U holda markaziy maydon uchun shredinger tenglamasi quydagi ko’rinishni oladi:
(4)
Nega aynan markaziy maydon qaraliyapti? Degan so’roqqa-ikki jimni ta’sirlashuvini o’rganishni soddalashtirish uchun aynan massalar markazi sitemasiga o’tishimiz lozimligi haqida yuqorida keltirib o’tilgan edi. Va bunda bir zarrani qo’zg’almas deb qarab ikkinchisini uning maydonida harakatlaniyapti deb olish mumkin.
NUMEROV ALGARITMI
Differensial tenglamalarni yuqori aniqlikta analitik aniq yechimini topish juda kamdan kam hollardagina mumkin bo’ladi. Amaliyotda uchraydigan ko’plab masalalarga aniq yechish usullarini qo’lashning iloji bo’lmaydi. Shuning uchun bunday differensial tenglamalarni taqribiy yoki sonli usular yordamida yechishga to’g’ri keladi.
Taqribiy usullar deb shunday usullarga aytiladiki, bu hollarda yechimlar biror funktsiyalar (masalan, elementar funktsiyalar) ketma-ketligining limiti ko’rinishida olinadi.
Sonli usullar – noma’lum funktsiyaning chekli nuqtalar to’plamidagi taqribiy qiymatlarini xisoblash usullaridir. Bu xollarda yechimlar sonli jadvallar ko’rinishida ifadalanadi. Hisoblash matematikasida yuqorida keltirilgan bu guruhlarga tegishli bo’lgan ko’plab usullar ishlab chiqilgan. Bu usullarning bir-birlariga nisbatan o’z kamchiliklari va ustunliklari mavjud. Difrensial tenglamalarni sonli yechishning bir qancha metodlari mavjud [2](Ketma-ket yaqinlashish usuli; Darajali qatorlar yordamida integrallash; Galerkin usuli ;Eyler usuli ; Runge – Kutta usuli; Nomerov algaritmi va hokazo…). Biz bu usullarni ichidan Nomerov algaritmidan foydalanamiz. Sababi shundaki boshqa metodlardan ko’ra ushbu metod xatolik darajasi pastroq
( O(h⁶) darajada).
Ko’pgina fizik jarayonlar ikkinchi tartibli chiziqli diferensial tenglamalarga olib keladi. Va ularni yechish birmuncha murakkabroqligi uchun unga batafsil to’xtalib o’tirmaymizda tayyor formuladan foydalanamiz[3].
(4)
Bu yerda berilgan funksiyalar. S(x) funksiya asosiy (4) tenglamaning turini belgilaydi. Agar s(x)=0 bo’lsa (4) tenglama bir jinsli differensial tenglama deyiladi. Agar berilgan fizik jarayon quydagi ko’rinishda o’zgarsin;
(5)
Agar zarracha holatini aniqlovchi u(x) funksiyani teylor qatoriga yoyib undan tengishli hisoblarni amalga oshirganimizda (6) ko’rinishidagi formulani olamiz:
(6)
Yuqoridagi (5) formuladan foydalanib biz tenglamani quydagi ko’rinishda yoza olamiz
(7)
Va ma’lum bir qancha soddalashtirishlardan so’ng nomerov algaritmining asosiy tenglamasini olamiz:
(7)

(7) tenglamani yechishda boshlang’ich shartlardan _{ } va _{ } ma’lum bo’lishi kerak. Shunda biz keying _{ } hadni topishimiz mumkin, hisoblashlar xudddi shunday keyingi qadamdagi qiymatni toppish bilan davom ettiriladi. Agar hisoblashlar qanchalik ko’p bajarilsa yechim ham shunchalik aniqroq chiqadi. Va bu ishni bajaruvchi maxsus dasturlar bor fortran dasturlash tili bizga aynan shu kabi masalani yechishda amaliy yordam beradi.

SFERIK KORDINATALAR SISTEMASI
Markaziy simetrik maydondagi harakatda impils momenti saqlanadi, orbital moment L va uning z o’qidagi proeksiyasi m ni aniqlash bilan biz statsionar holatlarni ko’rishimiz mumkin. L va m ning qiymati to’lqin funksiyaning qiymatini aniqlaydi. Ko’rilayotgan ⁷Be (p,gamma) ⁸B astrofizik reaksiyadagi maydon siferik simetriyaga ekanligi uchun. Sferik kordinatalar sistemasi haqidabirlamchi ma’lumotlarni keltirib o’taylik.

_{ } (8)
_{ } va _{ } shuningdek _{ } bulardan tayrim sodda matematik hisoblardan so’ng (ularni keltirib o’tirmaymiz) quydagi ifodani olamiz
_{ } (9)

Laplas operatorini sferik koordinatalar uchun yozadigan bo’lsak _{ } (10)

_{ } [5] ushbu adabiyotdan olingan natijalarni taxrirsiz keltirib o’tamiz: _{ } (11)
Olingan (11) ifoda aynan bizga shredinger tenglamasini sferik kordinatalar sistemasida yozish uchun juda ham zaruriy formula hioblanadi.
RADIAL SHREDINGER TENGLAMASI
Yuqorida keltrib o’tilgan formulalar bo’yicha laplas operatorini va shrediner tenglamasini sferik kordinatalar sistemasida yozadigan bo’lsak:
(12)
Ifodani olamiz[6].
(13)
Agar to’lqin funksiyani sferik kordinatalar uchun ham hisobga olgan holda yozadigan bo’lsak: ko’rinishda bo’ladi.
Bu yerda sferik funksiya. Ko’pincha deb olinadi. Radial funksiya uchun quydagi formulani olamiz: (14)
Radial to’lqin funksiyasini quydagi ko’rinishda yozsib olaylik:
(14) tenglamani quydagi ko’rinishga olib kelamiz;
(15)
Agar potensial funksiya U(r) butun fazo bo’yicha chegaralangan. To’lqin funksiya va rdial funksiyani shuningdek r=0 shartda ni oladigan bo’lsak
Potensial energiya maydonidagi bir jinsli harakatda umumiy potensialni quydagi ko’rinishda yozish mumkin:
(16)
⁷Be (p,gamma) ⁸B astrofizik reaksiyaspotensial model doirasida tadqiq qilinayotganligi uchun aynan obyekt sifatida gaus shaklidagi potensialdan foydalanamiz: bu yerda kulon potensiali
va larning qiymatini qiymatini birinchi jadvaldan olishimiz mumkin.

Markaziy haqiqiy potensial

Orbital va tenzir potensialni spinsiz 2 ta yadro zarrachasi uchun yadro kuchlari orqali ta’sirlashuvhi shredinger tenglamasini quydagi ko’rinishda yozish mumkin[7]. _{ } (17)
r-zarachalar orasidagi nisbiy skalyar madofa (_{ }) ;_{ } tenglamaning yechimi._{  } 2-tartibli hosila.
_{ } kulon potensiali, h(chiziqcha)-plank doimiysi,
zarrachalarning zaryadi yoki element o’lchov birligi.
m_N nuklon massasi. markazdan qochma potensial. L-zarracha nisbiy harakatining orbital moment kattaligiga bog’liq . -to’lqin soni. E-energiya _{ } keltirilgan massa. _{ }-markaziy zarrachaning yadro potensiali ; _{ }-radial bog’lanish potensiali. Uni quydagicha tanlab olish mumkin: _{   }-potensial chuqurligi uni qiymatini topishni yuqorida keltirib o’tganmiz (jadvalga qarang).
BOG’LANISH MASALASI UCHUN TUZILGAN DASTUR

ushbu reaksiya uchun psi to’lqin funksiyani kirish(input) kanali uchun:
(18)
Ko’rinishda tanlab olamiz. Chiqish (finely) kanali uchun:
(19)
Ko’rinishda tanlab olamiz. Bizga chiqish kanali muximroq va (19) ifodani shredinger tenglamasiga qo’llasak quydagi ifodani olishimiz mumkin:
(20)
Tanlab olingan potensial haqida yuqorida aytib o’tilgan. Ushbu (20) tenglamani maxsus dasturlar orqali yechganimizda biz to’lqin funksiya va bog’langan holatlar energiyasi haqida natija olamiz.
⁸B→⁷Be + p reaksiyada biz quydagi doimiy kattaliklardan foydalanamiz.
m₁= 7.014735, m₂= 1.0072764669 Z1=4, Z2=1; bu yerda m₁ va Z1 ⁷Be yadrosining massasi va zaryadi. m₂ va Z2 p(proton) massasi va zaryadi.