Oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi

n

n

П

n

П

i

i

s

i

s

i

k

−

=

∑

θ θ

θ

θ θ

θ

1

2

2

1

2

1

                       (4) 

---

 

35

Tushunarliki, 

χ

2

 taksimoti xakidagi masala xam uzgaradi, chunki p

i

(

θ θ

θ

1

2

, ,..., )

s

lar uz navbatida 

tasodifiy  kiymatlar bulib, (4) statistikaning asimptotik taksimoti oddiy N

0

 gipoteza bilan bir xil 

kurinishga ega ekanligi uz-uzidan oshkor emas. 

 

R.Fisher (1928) n

→∞

 da 

χ

2

 statistikasi (4) agar 

θ

1

,

θ

2

,...,

θ

s

 noma`lum parametrlarning 

θ

1

,

θ

2

,...,

θ

s

 baxo kiymatlari 

χ

2

 minimum usuli bilan olingan bulsa, eki 

χ

2

 minimum modifikatsiyasi 

erdamida gruppalangan tanlanmalar buyicha aniklangan bulsa, k-s-1 erkinlik darajasiga ega bulgan 

χ

2

- 

taksimotga ega ekanligini isbotlagan. 

Shu bilan birga Fisher agar 

θ

1

,

θ

2

,...,

θ

s

 kiymatlar ixtieriy usul bilan aniklangan bulsa, u xolda  

R{

χ

2

k-s-1

≥

x}

≥

lim {

}

{

}

n

k s

P

x

P

x

→∞

− −

≤

≥

≤

χ

χ

2

1

2

    (5) 

ekanligini kursatgan. 

 

α

  muximlik darajasining ma`lum bir kiymati uchun  

χ

χ

α

α

2

1

2

1

k s

k

− −

−

≤

;

;

urinli bulganligidan, 

χ

2

 kriteriysining kullanishi kuyidagicha buladi. (4) formula 

buyicha  

χ

2 

statistik kiymatini xisoblab, bu erda 

θ

1

,

θ

2

,...,

θ

s

 kiymatlar biror usul bilan xisoblangan va 

α

 

muximlik darajasini tanlab olingandan keyin, 

χ

2

 taksimot jadvalidan 

χ

2

k-1;

α

 va  

χ

2

k-s-1;

α

 lar aniklanadi. 

 Agar 

 

χ

χ

α

2

2

1

≤

−

k

;

bulsa, N

0

 gipoteza kabul kilinmaydi. Agar 

χ

χ

α

2

2

1

≤

− −

k s

;

bulsa, N

0

 

gipoteza kabul kilinadi.  

Agar 

χ

χ

α

α

2

1

2

1

k

k s

−

− −

≥ × >

;

;

 bulsa, u xolda  

θ

1

,

θ

2

,...,

θ

s

 kiymatlarni aniklash uchun 

χ

2

 

minimum usuli eki 

χ

2

 minimum usuli modifikatsiyasi kullaniladi. Bu xolda n

→∞

 da 

χ

2

 statistika k-s-1 

erkinlik darajasiga ega bulgan 

χ

2 

taksimotiga egadir. Shu sababdan, agar 

χ

χ

α

2

2

1

f

k s

− −

;

bulsa, N

0

 

gipoteza kabul kilinmaydi. Aksincha, agar 

χ

χ

α

2

2

1

≤

− −

k s

;

 bulsa, N

0

 gipoteza kabul kilinadi. 

3. 

 

χ

2

 kriteriysi uchun interval tanlash. 

 

Shungacha kurilgan  

χ

2

 kriteriysining asimptotik nazariyasi tanlanma elementlarini gruppalash 

tanlanma elementlariga boglik bulmagan xolda aniklanadigan intervallarni itieriy ravishda aniklashda 

urinlidir. Bu shart intervallar chegarasi tasodifiy kiymatlar ekanligi nazarda tutilmagan xollarda 

mavjuddir. Odatda amaliet intervallarga bulish chegaralarini aniklash, ba`zida berilgan tanlanmaning 

umumiy kurinishini aniklashdan iboratdir. Biz intervallarga bulish usullarini muloxaza kilib undan 

keyin asimptotik nazariyaga ta`sirini kurib chikishimiz kerak. Oldin intervallar chegarasini aniklashni 

kurib chikamiz. Amalda bu masalaning echimi arifmetik kulaylikka boglik: intervallar uzunliklarda 

olinadi, chetkilardan tashkari. 

 

Interval uzunligi takriban taksimot dispersiyasi bilan aniklanadi, shunda taksimot xolati 

markaziy intervalning kaerda bulishini aniklashda erdam beradi. Masalan, biz tanlanma elementlari 

uchun 6 ta interval tuzishimiz kerak bulganda edi, normal taksimot buyicha tekshirilaetganda, x 

takribiy kiymati va S

2

 tanlanma dispersiyasini aniklab, x+S

i

, i=0,1,2 intervallarning chegaralari sifatida 

kabul kilardik. U xolda kuyidagi intervallar xosil bulardi: 

 ]-

∞

;x-2S], ]x-2S;x-S],]x-S;x],]x-x+S],]x+S;x+2S],]x+2S;+

∞

[ 

 

Bu tadbir unchalik anik bulmasada, uning erdamida intervallar chegaralarini tasodifiy kiymatlar 

xoliga keltirish mumkin. Shu bilan birgalikda, xuddi shu usul bilan aniklangan intervallar uchun 

xisoblangan  

χ

2

 statistika shunday asimptotik taksimotga ega ekanligini oldindan bilishning iloji yuk, 

xattoki, intervallar oldindan uzgarmas kilib olinganda xam. Uzliksiz taksimotning umumiy xoli uchun 

kurilgan asimptotik nazariya intervallar chegarasi tanlanma buyicha aniklanganda xam urinli 

ekanligini Vatson (1959) kursatib bergan. 

 Shunday 

kilib, 

χ

2

 statistikaning N

0 

gipoteza buyicha asimptotik taksimoti kurilganda intervallar 

chegaralarining tasodifiyligini xisobga olmasak xam buladi. 

4. 

 

Intervallarni kurishni teng extimollik usuli. 

Biz chegaralarni aniklashning optimal usulini kriteriy kuvvati atamalarida aniklashimiz kerak, 

ular berilgan muximlik darajasi uchun kriteriyga maksimum kuvvat beradigan bulsin. 

G. Mann va A. Val`d (1942) shunday taklif kilgan edilar: berilgan K uchun intervallarni 

shunday tanlash kerakki, xamma P

i

 nazariy extimollar 

1

к

  ga teng bulsin. Bu anik va bir kiymatli 

---

 

36

protseduradir. U odatdagi usuldan (teng uzunlikdagi intervallar) shunisi bilan fark kiladiki, P

i

 larning 

bir xil bulishi uchun jadvallardan foydalanishga tugri keladi. Buni anik amalga oshirish uchun berilgan 

ma`lumotlar gruppalanmagan bulishi kerak. 

Misol. Kuyidagicha tanlanma berilgan: 

 

0,01  0,I  0,17 0,18 0,22 0,22 0,25 0,25 0,29 0,42 

0,46 0,47 0,47 0,56 0,59 0,67 0,68 0,70 0,72 0,76 

0,78 0,83 0,85 0,87 0,93 0,IV 1,00 0,01 0,01 1,02 

1,03 1,32 1,34 1,37 1,47 1,50 1,52 1,05 1,54 1,59 

1,71 1,90 2,10 2,35 2,46 2,46 2,50 3,73 4,07 6,03 

 

N

0

: dF(x)=e

-x

dx, 0

≤

x

<∞

 

 

nolinchi gipotezani tekshiramiz. 

χ

2

 uchun biz turtta sinf tashkil etishimiz kerak, deylik. Bir xil uzunlikdagi intervallarga 

gruppalash kuyidagicha bular edi. 

 

Z

i

 

n

i

 NP

i

 

]0;0.50] 14 19.7 

]0.50;1.00] 13  11.9 

]1.00;1.50] 10  7.2 

]1.50;+

∞

[ 

13 11.2 

P

i

 ning kiymatlari darajali taksimot jadvalidan olingan. (2)- formuladan  

χ

2

=3,1 ni aniklaymiz. 

Erkinlik darajasi 3 ga teng  

χ

2 

taksimot jadvalidan xulosa chikaramizki, muximlik darajasi 

α

=0,37 dan 

kichik xar kanday kriteriy nolinchi gipotezani rad kila olmaydi. 

Endi teng extimollik usuli kullanilganda berilganlarni ishlash tartibini kurib chikamiz. K=4 

bulganligi uchun bu extimollar 0,250 ga teng. Darajali taksimot jadvali bu xolda intervallar chegarasi 

uchun 0,228, 0,693, 1,386sonlarni beradi. 

 

Biz kuyidagi jadvalni tuzamiz: 

 

Z

i

 

n

i

 nP

i

 

]0;0.28] 9  12.5 

]0.28;0,69] 9 

12,5 

]0,69;1.38] 17 

12,5 

]1.38;+

∞

[ 

15 12,5 

 

Bunda  

χ

2 

statistikani xisoblash oson, chunki (2) kuyidagi kurinishga keltiriladi: 

 

 

χ

2

=

k

n

n

n

i

i

k

2

1

−

=

∑

                 (*) 

ya`ni P

i

=-

1

к

 (i=1,k) bulganligidan  

χ

2

=3,9 ekanligini aniklaymiz. 

χ

2

ning bu kiymatida agar 

muximlik darajasi 

α

=0,27 dan ortmasa, N

0

 gipoteza rad kilinmaydi. Bu kanoatli natijadir, ammo teng 

extimollik kriteriysi birinchi kriteriyga nisbatan talabchandir.