Oliy Matematika" kafedrasi Bilim sohasi 300000 "

Laplas almashtirishi, uning xossalari.
Bizga quyidagi almashtirish berilgan bo'lsin:

Bu almashtirish Laplas almashtirishi deyiladi. Bu yerda boshlangich funksiya, esa uning tasviri deyiladi
I. Ixtiyoriy o`zgaruvchi ning masshtabi o`zgarganda
– funksiyani tasviri.
bo`lganda – funksiyani tasvirini topamiz. Ta’rifga ko`ra

itegralda almashtirishni bajarsak bo`ladi, demak

yani agar bo`lsa bo`ladi
Misol. 1) yoki
2) yoki .
II. Tasvirning chiziqlili xossasi


Teorema. O`zgarmas ko`paytuvchiga ko`paytirilgan bir nechta funksiyalar yig`indisini tasviri shu funksiyalar tasvirlarini mos ko`paytuvchilarga ko`paytmalarining yig`indisiga tengdir, yani
(1.2.1)
(bunda lar o`zgarmas sonlar), va bo`lsa, u holda
(1.2.2)
Isbot. (1.2.1) tenglikni hadlab ga ko`paytrib, 0 dan gacha oraliqda integrallasak (1.2.2) kelib chiqadi.
Misol. 1)

2) berilgan tasvirga ko`ra original funksiya topilsin.


III. Siljish teoremasi


Teorema. Agar funksiyaning tasviri bo`lsa, u holda ning tasviri boladi. Bunda deb faraz qilinadi.


Bu teorema tasvirlar sinfini ancha kengaytiradi va ularning orginali oson topiladi.
Misol. , funksiyalarning tasvirini topaylik. bo`lgani uchun bo`ladi, shunga o`xshash . Bulardan ikkinchisidan birinchisini ayirib 2-ga bo`lamiz: yoki agar ularni qo`shsak kelib chiqadi. va bo`lgani uchun siljish teoremasiga asosan:
va

kelib chiqadi.
Misol: 1) Tasviri bo`lgan funksiya topilsin.
;
2) ;