Oliy Matematika" kafedrasi Bilim sohasi 300000 "

VIII. Kechikish teoremasi
Agar funksiya t<0 bo`lganda aynan nolga teng bo`lsa, u holda funksiya bo`lganda aynan nolga teng bo`ladi (rasm 3 a) va b))

3 rasm
Quydagi kechikish teoremasini isbot qilamiz.

Teorema. Agar funksiyani tasviri F(p) bo`lsa, u holda funksiya tasviri bo`ladi, ya’ni: bo`lsa
Isbot. Tasvirni ta’rifiga asosan.

Tenglikni o`ng tomonidagi birinchi integral nolga teng, chunki bo`lganda . Keyingi integralda o`zgaruvchini almashtramiz: , ;
U holda

demak .
M isollar. I. § 1.1 da Xevisaydning birlik funksiyasi uchun topilgan edi. Kechikish teoremasiga asosan funksiya (rasm 4) uchun boladi.
II. Quyidagi funksiyani qaraymiz:

A gar bu funksiya 0 dan h gacha bo`lgan vaqt oralig`ida ta’sir etuvchi kuch deb qaralsa (boshqa vaqtlarda nolga teng), u holda bu kuch impulsi birga teng bo`ladi.
(rasm 5)
Bu funksiya tasviri

Mehanikada bazi qisqa vaqt oralig`ida ta’sir etuvchi oniy ta’sir etuvchi va chekli ipulsga ega kuch deb qarash qulay bo`ladi. Shunga ko`ra bo`lganda funksiyaning limitiga teng bo`lgan funksiya qaraladi:

Bu funksiya impulsli funksiya yoki delta funksiya deyiladi. Ba’zan fizikada uni Dirak funksiyasi ham deyiladi. funksiyani tasvirini funksiya tasvirining
dagi limiti deb topamiz :

bo`lganda . Shuning uchun
Lopital qoidasiga asosan:
.
Demak . Delta funksiya mehanikada, matematikani ko`pgina bo`limlarida, hususan matematik – fizikaning ko`p masalalarida uchraydi. Agar funksiya massasi 1 ga teng bo`lgan moddiy nuqta momentda 1 ga teng tezlik beradigan kuch deb qarash mumkin.
Shunga o`xshash funksiyani momentida birlik massaga 1 ga teng tezlik beruvchi kuch deb qarash mumkin. Kechikish teoremasiga asosan:

Yuqoridagi kabi . Endi differensial tenglamaning bo`lganda boshlang`ich shartlarni qanoatlantruvchi yechimni ko`ramiz.
Yordamchi tenglama . Bundan va .
Delta funksiyani quyidagi xossalarini ko`rib o`tamiz:
bo`lganda 0 ga bo`lganda 1 ga teng bo`lgan quyidagi integral

Xevisaydning birlik funksiyasini ga tengdir:

Bu tenglikni ikki tomonini differensiallab, quyidagi shartli tenglikni olamiz:
(1.2.5)
Bu tenglikni ma’nosini tushuntirish uchun quyidagi funksiyani olamiz:

Bu holda:
(1.2.6)
bunda
va (1.2.7)
(1.2.4) va (1.1.5 ) tenglika asosan (1.2.5) shartli tenglik kelib chiqadi: .
1-topshiriq

1. 
   Quyidagi funksiyalarni Laplas operatoridan foydalangan holda tasvirini toping:
   

1. a)_{ }; b) _{ },
2. a)_{ }; b) _{ },
3. a)_{ }; b) _{ },
4. a)_{ }; b) _{ },
5. a)_{ }; b) _{ },
6. a)_{ }; b) _{ },
7. a)_{ }; b) _{ },
8. a)_{ }; b) _{ },
9. a)_{ }; b) _{ },
10. a)_{ }; b) _{ },
11. a)_{ }; b) _{ },
12. a)_{ }; b) _{ },
13. a)_{ }; b) _{ },
14. a)_{ }; b) _{ },
15. a)_{ }; b) _{ },
16. a)_{ }; b) _{ },
17. a)_{ }; b) _{ },
18. a)_{ }; b) _{ },
19. a)_{ };b) _{ },
20. a)_{ }; b) _{ },
21. a)_{ }; b) _{ },
22. a)_{ }; b) _{ },
23. a)_{ }; b) _{ },
24. a)_{ }; b) _{ },
25. a)_{ }; b) _{ },
26. a)_{ }; b) _{ },
27. a)_{ }; b) _{ },
28. a)_{ }; b) _{ },
29. a)_{ }; b) _{ },
30. a)_{ }; b) _{ },

2. 
   Quyidagi tasvirlarni boshlang`ich funksiyasini toping:
   

1. 
   a)_{ }; b) _{ }.
   
2. 
   a)_{ }; b) _{ }.
   
3. 
   a)_{ }; b) _{ }.
   
4. 
   a)_{ }; b) _{ }.
   
5. 
   a)_{ }; b) _{ }.
   
6. 
   a)_{ }; b) _{ }.
   
7. 
   a)_{ }; b) _{ }.
   
8. 
   a)_{ }; b) _{ }.
   
9. 
   a)_{ }; b) _{ }.
   
10. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
11. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
12. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
13. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
14. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
15. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
16. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
17. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
18. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
19. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
20. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
21. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
22. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
23. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
24. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
25. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
26. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
27. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
28. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
29. 
    a)_{ }; b) _{ }.
    
30. 
    a)_{ }; b) _{ }.