Oliy Matematika" kafedrasi Bilim sohasi 300000 "

CHiziqli bir jinsli tenglamalr sistemasini

Eyler usulida yechish.
Endi chiziqli bir jinsli sistemani yechishni Eyler usuli bilan tanishamiz. Bunda quyidagi
(5.29)
bir jinsli sistema berilgan bo’lsin. Uning yechimini
(5.30)
ko’rinishda qidiramiz. Tenglamaga qo’yib, ga qisqartirib, ga nisbatan sistema hosil qilamiz. Hosil bo’lgan sistema noldan farqli yechimga ega bo’lganligi uchun asosiy determinantini nolga teng, yaoni
(5.31)
Bu determinantning yoyilmasi ga nisbatan -tartibli tenglama bo’lib, xarakteristik tenglama deyiladi. Faraz qilaylik, sonlar xarakteristik tenglamasining ildizlari bo’lsin.
a) ildizlari har xil va xaqiqiy. deb
(5.32)
sistemani yechib, - larni topamiz va (5.30) ga qo’yamiz:

Xuddi shunday deb (5.32) dan har bir uchun mos larni topamiz. Natijada

xususiy yechimlarni hosil qilamiz. Ular yordamida ushbu ko’rinishdagi

umumiy yechimni yozish mumkin.
b) -ildizlar xaqiqiy va ichida karralisi bor bo’lsin.
Faraz qilaylik -ildiz karrali ildizi bo’lsin (bunda ).
Bunday xolda yechimni
(5.33)
ko’rinishda qidiramiz. (5.33) ni (5.29) ga qo’yib, larni tartibiga qarab mos koeffitsientlarni tenglab, -larga nisbatan sistema hosil qilamiz. Barcha larni topib, yuqoridagi kabi umumiy yechimini yozish mumkin.
Eslatma: sonlar kompleks va kompleks karrali bo’lsa, u holda a) va b) hollar kabi yechiladi va ildizga mos kelgan yechimni haqiqiy va mavxum qismlari chiziqli erkli yechim ekanligidan hamda Eyler formulasidan (3-§ ga qarang) foydalaniladi.
ko’rinishda yoziladi. Misol 5.6. Sistemani Eyler usulida yeching.

Echish. Berilgan tenglamaning xarakteristik tenglamasini tuzamiz:

Bundan tenglamadan ildizlarga egamiz. Xususiy yechimni ko’rinishda qidiramiz ( haqiqiy va har xil bo’lganligi uchun).
ildizga mos koeffitsentni topish uchun

sistemani yechamiz. Demak,

sistemadan tenglamaga egamiz. Bu cheksiz ko’p yechimga ega. Xususiy holda deb olsak bo’ladi. U holda xususiy yechim

ko’rinishda bo’ladi.
ildizga mos koeffitsientlarni

sistemadan topamiz. Bundan tenglama cheksiz ko’p yechimga ega bo’lib, xususiy holda bo’lsa bo’ladi. Xususiy yechim

bo’lib, ular yordamida umumiy yechimni