Олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги жиззах политехника институти «Олий математика»

1.2. Чексиз геометрик прогрессия.


_{Чексиз геометрик прогрессия} (2) энг содда ва куп учрайдиган қаторлардан биридир. Бунда – прогрессиянинг 1- хади, эса махражидир.
Прогрессия дастлабки та хадининг йиғиндиси қуйидагига тенг:
бунда, . нинг мумкин булган қийматларини қараймиз:

1. 
   Агар бўлса, у ҳолда _да шунинг учун
   

₌ = .
Шундай килиб, да, геометрик прогрессия йиғиндиси
=
булган яқинлашувчи қатор хосил килади.
2) Агар бўлса, у ҳолда ва шунинг учун = = ∞
Шундай килиб, да чексиз геометрик прогрессия узоқлашувчи қатор хосил килади.
3) Агар бўлса, у ҳолда қатор хосил булади, бу қаторнинг -хусусий йиғиндиси булади.
Равшанки,
=
яъни қатор узоқлашади.
4) Агар бўлса, у ҳолда
қатор хосил булади. Жуфт n номерли хар кандай хусусий йиғинди нолга тенг, тоқ n номерли хусусий йиғинди эса а га тенг. Шундай килиб, бу ҳолда хусусий йиғиндилар кетма–кетлиги тебранувчи бўлиб, хеч кандай лимитга интилмайди, шу сабабли
қатор узоқлашувчи.
Демак, чексиз геометрик прогрессия да яқинлашувчи ва да узоқлашувчи қатор экан.
3-мисол. Геометрик прогрессиядан иборат қуйидаги қаторни яқинлашувчиликка текширинг:

Ечиш: Қаторнинг – хусусий йиғиндиси қуйидагича топилади:

Қатор йиғиндисини ҳисоблаймиз: у ҳолда қатор яқинлашувчи ва унинг йиғиндиси 3 га тенг.
Биз қаторнинг яқинлашувчи ёки узоқлашувчи эканини яқинлашишнинг таърифидан ва -хусусий йиғиндининг маълум формуласидан фойдаланиб аниқладик. Аммо хар доим хам учун ва демак, нинг лимити учун хам ихчам формула топиб бўлавермайди. Шу сабабли кўпинча қаторнинг яқинлашишини яқинлашишнинг баъзи белгилари(аломатларидан) фойдаланиб аниқланади.