Олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги жиззах политехника институти «Олий математика»

Ўзгарувчан ишорали қаторлар. Лейбниц теоремаси.

Ҳадларининг ишоралари ҳар хил бўлган қаторларни ўрганишга ўтамиз. Энг аввал ишоралари навбатлашувчи қаторлар деб аталувчи қаторларга тухталамиз. Бундай қаторларда ҳар бир мусбат ҳаддан кейин манфий ҳад ва ҳар бир манфий ҳаддан кейин мусбат ҳад келади. Ишоралари навбатлашувчи қаторни бундай ёзиш мумкин:

бунда -мусбат сонлар.
Ишоралари навбатлашувчи қаторлар яқинлашишининг етарли шартини қуйидаги теорема ифодалайди.
1 – т е о р е м а (Лейбниц теоремаси). Агар ишоралари навбатлашувчи
(1)
қаторда қатор ҳадларининг абсолют қийматлари камаювчи, яъни
(2)
бўлса, шу билан бирга умумий ҳад нолга интилса:
, (3)
у ҳолда (1) қатор яқинлашувчи бўлади, шу билан бирга унинг йиғиндиси 1-хадидан катта бўлмайди ва мусбат бўлади: .
И с б о т и. Олдин жуфт индексли хусусий йиғиндилар кетма-кетлигига қараймиз, уларни ушбу куринишда ёзамиз:

Демак, хусусий йиғиндилар кетма-кетлиги ўсувчи, (2) шартдан хар бир қавс ичидаги ифоданинг мусбат экани келиб чиқади.
Энди хусусий йиғиндини бундай кўчириб ёзамиз:
S_2m=u₁-(u₂-u₃)-…-(u_2m-2-u_2m-1)-u_2m.
(1) шартдан ҳар бир қавс ичидаги ифоданинг мусбат экани келиб чиқади. Шу сабабли бу қавсларни дан айириш натижасида биз дан кичик сонга эга бўламиз, яъни

Шундай килиб, хусусий йиғиндилар кетма-кетлиги билан биргаликда ўсувчи ва юқоридан чегараланган. Демак, у лимитга эга, яъни

шу билан бирга .
Энди тоқ индексли хусусий йиғиндилар ҳам лимитга интилишини исботлаймиз. Ҳакикатдан ҳам,

бўлгани учун да

га эга бўламиз, бунда (3) шартга кўра . Шу билан биз жуфт ларда хам, тоқ ларда ҳам эканини исботладик.
Демак, (1) қатор яқинлашувчи, шу билан бирга унинг йиғиндиси мусбат ва қаторнинг биринчи ҳадидан катта бўлмайди, яъни