Олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги жиззах политехника институти «Олий математика»

1-Мавзу. Сонли қаторлар.

1. 
   Сонли қатор. Қаторнинг йиғиндиси ва яқинлашиши.
   

Чексиз қаторлар математик анализнинг муҳим қисмларидан биридир. Улардан функциялар қийматларини тақрибий ҳисоблашлар, интеграллар қийматларини ҳисоблашлар билан боғлиқ бўлган ҳар хил амалий масалаларни ечишда кенг фойдаланилади. Чексиз қаторлар билан боғлиқ асосий тушунчаларни қараймиз.

Элементлари ҳақиқий (ёки комплекс) сонлар ёки функциялар бўлган чексиз кетма-кетликни қараймиз.
1- т а ъ р и ф. Ушбу
.
ифода чексиз қатор ёки тўғридан–тўғри қатор дейилади. (1) қаторни белгилаш учун бундай ёзувдан фойдаланилади: ; кетма–кетликнинг элементлари қаторнинг ҳадлари дейилади.
Агар қаторнинг ҳадлари сонлардан иборат бўлса, қатор сонли қатор дейилади; қаторнинг -ҳадини унинг умумий хади дейилади.
1-м и с о л. Ушбу қатор сонли қатордир, унинг умумий хади га тенг. Бу қатор гармоник қатор деб ҳам аталади, уни қисқача бундай ёзиш мумкин:
.
Ҳар бир қатор учун куйиладиган асосий савол бу унинг яқинлашиши масаласидир.
2-т а ъ р и ф. (1) қатор дастлабки та хадининг йиғиндиси

шу қаторнинг – хусусий(ёки қисмий) йиғиндиси дейилади. Шу хусусий йиғиндиларни қараймиз:

Хусусий йиғиндилар чексиз сонли кетма-кетликни ҳосил қилади.
3–т а ъ р и ф. Агар (1) қаторнинг хусусий йиғиндилари кетма-кетлиги чекли лимитга эга бўлса, бу қатор яқинлашувчи қатор дейилади. Бу лимитнинг қиймати:
(1) қаторнинг йиғиндиси дейилади. Бу ҳолда бундай ёзилади:
4 - т а ъ р и ф. Агар (1) қаторнинг хусусий йиғиндилари кетма – кетлиги чекли лимитга эга бўлмаса, бу қатор узоқлашувчи қатор дейилади.
2-мисол. Ушбу қатор йиғиндисини ҳисобланг:
Ечиш: Қатор умумий ҳадини касрнинг асосий хоссасидан фойдаланиб, қуйидагича ёзиш мумкин:

у ҳолда қаторнинг – хусусий йиғиндиси қуйидагича топилади:


Қатор йиғиндисини ҳисоблаймиз: у ҳолда қатор яқинлашувчи ва унинг йиғиндиси ½ га тенг.
Сонли қаторлар назариясининг мазмуни қаторнинг яқинлашувчи ёки узоқлашувчи эканлигини аниқлаш ва яқинлашувчи қаторлар йиғиндисини хисоблашдан иборат.
Энг содда мисол сифатида чексиз геометрик прогрессияни қараймиз.