Олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги жиззах политехника институти «Олий математика»

1.4. Қаторлар устида содда амаллар бажариш

Қаторлар устида амаллар бажаришнинг баъзи қоидалари билан танишамиз.

1-т е о р е м а (қаторни сонга кўпайтириш ҳақида). Агар
қатор яқинлашувчи бўлиб, унинг йиғиндиси га тенг
бўлса; у ҳолда қатор хам яқинлашувчи булади ва унинг йиғиндиси га тенг булади , бунда -тайин сон.
И с б о т и . (1) ва (5) қаторларнинг -хусусий йиғиндиларини мос равишда ва билан белгилаймиз. У ҳолда қуйидагига эга буламиз:
,
бундан: .
Шундай килиб, (5) қатор яқинлашувчи, унинг йиғиндиси ∙S га тенг. Теорема исботланди.
2- т е о р е м а (қаторларни қўшиш хакида). Агар , қаторлар яқинлашувчи ва уларнинг йиғиндилари мос равишда га тенг бўлса, у ҳолда

қатор хам яқинлашувчи ва унинг йиғиндиси га тенг булади.
5-мисол. Ушбу қатор йиғиндисини топинг.
Ечиш. Берилган қаторни қуйидагича ёзамиз:

Берилган қатор иккита чексиз камаювчи геометрик прогрессиянинг йиғиндиси бўлгани учун яқинлашувчи ва унинг йиғиндиси қуйидагига тенг:



Мисол ечиш учун намуналар:
6-мисол. Ушбу қаторнинг дастлабки бешта ҳадини ёзинг.
Ечиш: Қаторнинг дастлабки бешта ҳадини ёзиш учун нинг ўрнига қийматларни қўямиз, яъни да ; да ; да ; да ; да . Қаторни қуйидагича ёзиш мумкин:
7-мисол. Берилган қаторнинг умумий ҳадини топинг:
Ечиш: Суратдаги кетма-кетлик арифметик прогрессия ташкил этади: прогрессиянинг -ҳадини формула бўйича топамиз. Бу ерда шунинг учун . Махраждаги кетма-кетлик геометрик прогрессия ташкил этади ; бу прогрессиянинг - ҳади . Натижада, қаторнинг умумий ҳади .
8-мисол. Қуйидаги қаторнинг яқинлашувчи ёки узоқлашувчи эканлигини таъриф бўйича аниқланг. Агар қатор яқинлашувчи бўлса, унинг йиғиндисини топинг.
Ечиш: Қаторнинг умумий ҳадини содда касрлар йиғиндиси кўринишида тасвирлаймиз:
.
Тенгликнинг иккала томонини га кўпайтириб, айният ҳосил қиламиз.
.
нинг ўрнига кетма-кет 0, -1, -2 ларни қўйиб, номаълум коэффициентларни топамиз: да ; да ; да . Шундай қилиб,
.
Бу ердан , , , ,...
- хусусий йиғиндисини ҳисоблаймиз:

.
Қатор йиғиндисини топамиз: . Қатор йиғиндиси чекли эканидан берилган қатор яқинлашувчи бўлади.
9-мисол. қатор учун қатор яқинлашишининг зарурий шарти бажариладими?
Ечиш: Қатор яқинлашишининг зарурий шартига текширамиз:
.
Берилган қатор учун қатор яқинлашишининг зарурий шарти бажарилади.
10-мисол. қатор яқинлашишини текширинг.
Ечиш: Қаторнинг умумий ҳадини топамиз: . Шундай қилиб,
,
яъни, қатор учун зарурий шарт бажарилмайди ва қатор узоқлашувчи бўлади.